Feladat: Gy.2932 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárász Mihály ,  Boldoczki János ,  Burcsi Péter ,  Csabina Tamás ,  Czirok Levente ,  Deli Tamás ,  Devecsery András ,  Elek Péter ,  Frenkel Péter ,  Gröller Ákos ,  Gyukics Mihály ,  Gyurkó L. Gergely ,  Hegedűs Márton ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Karádi Richárd ,  Katona Zsolt ,  Kovács Baldvin ,  Kozma Róbert ,  Makai Márton ,  Mátrai Tamás ,  Megyeri Csaba ,  Nyakas Péter ,  Pap Gyula ,  Puskás Péter ,  Rozmán András ,  Ruzsa Gábor ,  Szabó Ádám ,  Szász Nóra ,  Szilágyi Jenő ,  Szobonya László ,  Takács Krisztián ,  Tarján Péter ,  Tigyi István ,  Tóth Gábor ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Treer Albert ,  Véber Miklós ,  Völgyi István ,  Vörös Zoltán ,  Zawadowski Ádám ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1995/március, 144 - 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2932

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyzetet középpontja körül 90-kal elforgatva önmagát kapjuk. Ezért a hatszög 90-os elforgatottjának is tartalmaznia kell a négyzetet. Ha viszont a hatszög is, és annak 90-os elforgatottja is tartalmazza a négyzetet, akkor a két hatszög metszete, ami egy szabályos 12-szög ‐ az ábrán A1A2...A12 ‐, szintén tartalmazza az egész négyzetet.
Egy négyzet területe annál nagyobb, minél hosszabb az átlója. Mivel a 12-szög és a négyzet középpontja egybeesik, azért a négyzet átlója legfeljebb akkora, mint a 12-szög köré írható kör átmérője. A 12-szög oldalai a köré írható kör középpontjából 36012=30-os szögben látszanak, azért a 12-szög A1A4 átlója a középpontból 330=90-os szögben látszik, s ugyanekkora szögben látszanak az A4A7, A7A10 és A10A1 átlók is. Ebből következik, hogy A1A4A7A10 az a négyzet, amelynek átlója a lehető legnagyobb. Tehát ez egy maximális területű beírt négyzet.
Jelöljük az eredeti szabályos hatszög ‐ az ábrán ABCDEF ‐ köré írható kör sugarát r-rel. Ekkor a hatszög területe megegyezik 6 darab r oldalú szabályos háromszög területével, azaz 6r234. Az ábra jelöléseit használva: OP=r32 (OP az ABO szabályos háromszög magassága), POA1=12POA=15, tehát OA1=OPcos15. Vagyis a négyzet területe 2OA12=6r24cos215. A két terület hányadosa

6r24cos215:(6r234)=13cos2150,62.

Tehát a négyzet területe a hatszög területének legfeljebb 62%-a.
 Mátrai Tamás Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján