Kezdőlap


Feladat:	Gy.2930	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ács Krisztina , Balaskó Tünde , Bozsó Beatrix , Brezovich Károly , Cziczinger Andrea , Czirok Levente , Dargó Eszter , Deli Tamás , Farkas Zoltán , Fazekas Borbála , Fejős Ibolya , Formanek Csaba , Geiger András , Gruber Judit , Gyöngy Eszter , Hangya Balázs , Havas Dávid , Horváth Gábor , Jakabfy Tamás , Kecskés Tamás , Kiss Laura , Kósa Botond , Kovács Judit , Kunszt Árpád , Laczó Tibor , Lencsés Zoltán , Major Tibor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Muth Lóránt , Nagy Gábor , Opor Károly , Orlovits Zsanett , Pacsi László , Pap Gyula , Pápai Tivadar , Pusztai Zoltán , Sándor Zsuzsa , Sebestyén Hajnalka , Szántó Richárd , Szőke Andrea , Terpai Tamás , Ticz Veronika , Tóth Gábor , Vörös Imre , Zsitva Miklós , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1995/március, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Trigonometria, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trapézok, Érintőnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2930

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

megoI. megoldás. Tükrözzük a
trapézt az $A D$ oldalára, $B$ és $C$ tükörképét jelöljük $B'$ -vel és $C'$ -vel (1. ábra). A tükrözés miatt $C' C = 2 D C$ , $B' B = 2 A B$ és $B' C' = B C$ . Mivel $A B + C D = B C$ , azért $C' C + B' B = B' C' + B C$ , vagyis a $B' B C C'$ négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő; tehát a négyszög érintőnégyszög.
A négyszögbe írható kör középpontja a szögfelezők metszéspontja. A $C$ és $C'$ csúcshoz tartozó szögfelezők egymás tükörképei, tehát metszéspontjuk, ami a beírható kör középpontja, az $A D$ egyenesen van. Ezen a ponton átmegy a $B$ -ből induló szögfelező is, tehát a $B$ -ből és $C$ -ből induló belső szögfelezők az $A D$ oldalon metszik egymást.

II. megoldás. Legyen

E

C B

oldalnak az a pontja, amelyre

C E = C D

és

B E = B A

(2. ábra). Ekkor a

D C E

és az

A B E

háromszögek egyenlő szárúak, ezért a

C

-ből, illetve

B

-ből induló belső szögfelezőik egyúttal a szemközti oldalak ‐

D E

és

A E

‐ szakaszfelező merőlegesei is. Tehát a két szögfelező metszéspontja az

A D E

háromszög köré írható kör középpontja. Ez a háromszög viszont derékszögű, mivel

\begin{matrix} \begin{matrix} A E D ∢ = 180^{\circ} - A E B ∢ - D E C ∢ = \\ = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{1}{2} A B E ∢) - (90^{\circ} - \frac{1}{2} D C E ∢) = \\ = \frac{1}{2} (A B E ∢ + D C E ∢) = 90^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Ekkor viszont a köré írható kör középpontja az átfogó ‐

A D

‐ felezőpontja. Ezzel feladatunk állításánál többet is bizonyítottunk: a

B

-hez és

C

-hez tartozó belső szögfelezők az

A D

szár felezőpontjában metszik egymást. A megoldás során nem használtuk fel, hogy

A

-nál és

D

-nél derékszög van, tehát az állítás minden olyan trapézra igaz, amelyre

A B + C D = B C

Brezovich Károly (Szombathely, Premontrei Szt. Norbert Gimn., I. o.t.)