Kezdőlap


Feladat:	N.26	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Gyarmati Katalin , Hertz István
Füzet:	1995/január, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális együtthatós polinomok, Periodikus sorozatok, Teljes indukció módszere, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: N.26

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldás során felhasználjuk azt a jól ismert állítást, amely szerint ha a $Q$ racionális szám gyöke egy olyan egész együtthatós polinomnak, amelynek főegyütthatója 1, akkor $Q$ szükségszerűen egész is. Ha ui. $M$ jelöli a szóban forgó $p$ polinom fokát, és $Q = S / T$ , ahol $S$ és $T$ relatív prímek, akkor a feltételből adódóan $S^{M} \equiv T^{M} p (S / T) \equiv 0 mod T$ , vagyis $T ∣ S^{M}$ , ami $S$ és $T$ választása miatt csak úgy lehetséges, hogy $T = \pm 1$ .
A továbbiakban $c_{1}$ , $c_{2}$ , $...$ olyan egészeket fognak jelölni, amelyek csak a feladatbeli $p$ polinomtól függenek. Mivel $p$ együtthatói racionálisak, azért $c_{1}$ megválasztható úgy, hogy a $c_{1} p$ polinom együtthatói egészek legyenek. Jelölje $c_{2}$ a $c_{1} p$ főegyütthatóját, $m$ a polinom fokát. Teljes indukcióval belátjuk, hogy ha $t_{1}$ és $t_{1} q_{1}$ egész, akkor a $t = t_{1} c_{2}$ választással $t q_{n}$ minden $n$ -re egész. Az állítás nyilvánvaló $n = 1$ esetén, ha pedig már tudjuk, hogy valamilyen $n$ mellett igaz, azaz $t q_{n}$ egész, akkor az állítás a megoldás elején említett segédtétel alapján következik $t q_{n + 1}$ -re is, hiszen ez a racionális szám a feladat feltétele szerint gyöke a $c_{1} / c_{2} \cdot t^{m} (p (x / t) - q_{n})$ polinomnak, amelyről pedig az indukciós feltevést használva könnyű kimutatni, hogy egész együtthatós, 1 főegyütthatóval. Ha most $x$ elég nagy abszolút értékű valós szám, és $c_{3}$ jelöli a $c_{1} p$ együtthatói közül a maximális abszolút értékűt, akkor a háromszög-egyenlőtlenség segítségével

\begin{matrix} | c_{1} p (x) | \geq | c_{2} x^{m} | - | c_{1} p (x) - c_{2} x^{m} | \geq | c_{2} x^{m} | - m | c_{3} | {| x |}^{m - 1} = | x_{m} | | c_{2} - \frac{m | c_{3} |}{| x |} |, \end{matrix}

vagyis

m \geq 2

miatt van olyan

c_{4}

, amivel

| x | > c_{4}

esetén

| p (x) | > | x |

, másképpen fogalmazva tetszőleges

x

-re

| x | \leq {max}_{}^{} (c_{4}, | p (x) |)

. Ebből a

| q_{n} | \leq {max}_{}^{} (c_{4}, | q_{n - 1} |)

egyenlőtlenséget kapjuk, amelyet többször alkalmazva

\begin{matrix} | q_{n} | \leq {max}_{}^{} (c_{4}, | q_{n - 1} |) \leq {max}_{}^{} (c_{4}, | q_{n - 2} | \leq ... \leq {max}_{}^{} (c_{4}, | q_{1} |) . \end{matrix}

Ezek szerint a

(q_{n})

sorozat korlátos, és mivel azt is láttuk, hogy a sorozat

t

-szerese egészekből áll, azért

(q_{n})

csak véges sok különböző tagot tartalmaz. Így tehát van olyan

q

, amely végtelen sokszor előfordul a sorozatban, speciálisan van olyan

i

és

k

, amelyre

q_{i} = q_{i + k} = q

. Megmutatjuk, hogy

k

periódusa a sorozatnak. Jelölje tetszőleges pozitív egész

l

esetén

\begin{matrix} p^{(l)} (x) = {\underset{︸}{p (p (... p (p (x)) ...))}}_{l db}^{} \end{matrix}

p

polinomfüggvény

l

-szeres iteráltját. Ekkor tehát

q = q_{i} = p^{(k)} (q_{i + k}) = p^{(k)} (q)

. Ha most

n

tetszőleges, akkor van olyan

j > n + k

, amellyel

q_{j} = q

; ennek segítségével

\begin{matrix} q_{n + k} = p^{(j - n - k)} (q_{j}) = p^{(j - n - k)} (q) = p^{(j - n - k)} (p^{(k)} (q)) = p^{(j - n)} (q) = p^{(j - n)} (q_{j}) = q_{n}, \end{matrix}

és ezt akartuk bizonyítani.

Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. Írjuk a

q_{n}

-et

s_{n} / t_{n}

alakba, ahol

s_{n}

és

t_{n}

relatív prím egészek. A megoldásban látottak alapján a

(q_{n})

sorozat nem tartalmazhat

c_{4}

-nél nagyobb abszolút értékű tagot, hiszen akkor nem lehetne periodikus. Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozatában megmutatta, hogy ha az

x

racionális szám egyszerűsített alakjában a nevező elég nagy (nagyobb, mint egy

c_{5}

), akkor

p (x)

egyszerűsített alakjában a nevező nagyobb, mint

x

-ében. Ennek segítségével egyrészt újabb bizonyítást nyerhetünk megoldásunk azon részeredményére, miszerint a nevezők

(t_{n})

sorozata korlátos, másrészt, a feladat állításának ismeretében azt is kiolvashatjuk belőle, hogy

| t_{n} | \leq c_{6}

, vagyis hogy a

(t_{n})

sorozat korlátozható egy, csak a

p

-től függő konstanssal. Persze ekkor

| q_{n} | \leq c_{4}

alapján

| s_{n} | \leq c_{4} c_{6} = c_{7}

-re is teljesül, vagyis a számlálók is hasonlóan korlátozhatók. Mivel a minimális

k

periódus (most már) a legkisebb olyan pozitív egész, amelyre

p^{(k)} (q_{1}) = q_{1}

, és az előbb mutattuk meg, hogy

q_{1}

-nek

p

-től függően csak véges sok értéke jön szóba, azért egy

| k | \leq c_{8}

alakú becslés is fennáll. Összességében tehát elmondhatjuk, hogy ha a

p

racionális együtthatós polinomhoz található ,,visszafelé rekurzív'' racionális sorozat, akkor minden ilyen sorozat periodikus valamilyen, csak a

p

-től függő konstanssal (vegyük az első

c_{8}

darab pozitív egész legkisebb közös többszörösét). Érdekes lenne

k

-ra valamilyen alsó becslést adni, beleértve a

k = \infty

esetet is, amin azt értjük, hogy a

p

-hez egyáltalán nem található periodikus racionális sorozat.