Kezdőlap


Feladat:	N.25	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Elek Péter , Futó Gábor , Gyarmati Katalin , Hertz István , Pap Gyula , Perényi Márton , Pete Gábor , Szeidl Ádám , Terpai Tamás
Füzet:	1995/január, 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Geometriai egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: N.25

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A F. 3008. feladat megoldásának jelöléseivel és gondolatmenetével élve azokat a $γ$ tompaszögeket kell meghatároznunk, amelyekre $α$ , $β > 0$ ; $α + β = π - γ$ mellett

\begin{matrix} | tg α | + | tg β | + | tg γ | \geq 3 \sqrt[]{3} \end{matrix}

mindig teljesül. A bal oldalon rögzített

γ

mellett

| tg α | + | tg β |

legkisebb értéke

2 tg \frac{π - γ}{2}

, hiszen

α

és

β

hegyesszögek, és a hegyesszögek tartományában a tangensfüggvény pozitív, növekvő és konvex. A

γ

tehát akkor és csak akkor jó, ha kielégítit a

\begin{matrix} 2 tg \frac{π - γ}{2} - tg γ \geq 3 \sqrt[]{3} \end{matrix}

egyenlőtlenséget. Az

x = tg (γ / 2)

jelöléssel azokat az

x

-eket keressük, amelyekre

\begin{matrix} x > 1 és \frac{2}{x} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} \geq 3 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A harmadfokú egyenletek megoldásáta ismeretes Cardano-formulát használva azt kapjuk

x

-re, hogy

1, 3090 ... = x_{0} \geq x > 1

, ahol

x_{0}

jelöli a

\begin{matrix} \frac{2}{x} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} = 3 \sqrt[]{3} \end{matrix}

egyenlet legnagyobb gyökét.
Mindent összevetve a

γ

tompaszög keresett értékei

\begin{matrix} 105, 248 {...}^{\circ} = 2 arc tg x_{0} \geq γ > 90^{\circ} . \end{matrix}