A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy háromszög felbontásán a továbbiakban mindig egymáshoz hasonló háromszögekre bontást értünk. A keletkező háromszögeket kis háromszögeknek fogjuk hívni. Legyenek az eredeti háromszög szögei , , , és jelöljük ennek a háromszögnek egy felbontásánál adódó kis háromszögek szögeit , , -val. Tegyük fel, hogy e felbontásnál az eredeti háromszög csúcsainál , , egyaránt előfordul. Ekkor ; mivel mindkét összeg egyaránt , azért szükséges, minden csúcsban egyetlen kis háromszög helyezkedjen el, akkor pedig a kis háromszögek az eredetihez hasonlóak. Megmutatjuk, hogy ha , , -t úgy választjuk meg, hogy legyen, akkor minden felbontás az iménti típusú lesz. Tételezzük fel ugyanis, hogy létezik másfajta felbontás is, pl. olyan, amelynél a kis háromszögek , , szögei közül az eredeti háromszög egyetlen csúcsánál sem fordul elő. Alkalmas , , , nemnegatív egészekkel ekkor | | Könnyen látható, hogy így ahol , , . Tehát , , választása folytán ahonnan Ezek szerint racionális, de mivel nem racionális, ezért vagy . Ha , akkor | | tehát, mivel és irracionális, , ami ellentmondás (mert pozitív). Ha pedig , akkor | | vagyis, mivel és irracionális, , ami ismét ellentmondás. Minden esetben ellentmondásra jutottunk, ami azt igazolja, hogy az választással háromszögünknek nincsen olyan felbontása, amelynél a csúcsokban legfeljebb csak kétfajta szerepel a kis háromszögek szögei közül, tehát a felbontásban szereplő háromszögek szükségszerűen hasonlóak az eredetihez.
Megjegyzések. 1. Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) igazolta, hogy ha egy háromszögnek létezik olyan egymáshoz hasonló háromszögekre való felbontása, amelyben a kis háromszögek nem hasonlóak az eredetihez, akkor a háromszög szögei megbetűzhetők , , -vel úgy, hogy az alábbiak valamelyike teljesül:
* | a), és úgy aránylik egymáshoz, mint három egész szám, | 2. Futó Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) megjegyezte, hogy ha egy háromszög szögeit ,,véletlenszerűen'' választjuk, akkor az előző megjegyzésbeli eset 0 valószínűséggel fordul elő.
|