A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A színek számára vonatkozó teljes indukcióval bizonyítunk. 1 színre nyilvánvaló az állítás. Tegyük fel ezért, hogy szín esetére már igazoltuk az állítást, és nézzük meg, mit tudunk mondani szín mellett. A természetes számokat színezzük ki az , , , színekkel. Feltehetjük, hogy az , , , színek egyike sem teljesíti a feladatban kirótt feltételt, hiszen különben készen vagyunk. Tekintsük az és az színű számokat együttesen színűeknek. Ekkor az indukciós feltevés miatt az , , , , színek valamelyike teljesíti a feladatban kirótt feltételt, ez a szín pedig az előbbi megjegyzésünk folytán csakis az lehet. Így alkalmas -mel minden -hoz található színű , , , úgy, hogy ) teljesüljön. Rögzítsük le az -et. Mivel az nem teljesíti a feladatbeli feltételt, azért van olyan pozitív egész , amelyhez nem található színű , , , úgy, hogy () fennálljon. Rögzítsük le ezt az -et is. Be fogjuk látni, hogy -mel az szín kielégíti a feladatbeli feltételt. Legyen ehhez tetszőleges pozitív egész, és válasszuk meg az színű , , , számokat úgy, hogy () teljesüljön. Ekkor az választása folytán tetszőleges mellett kell lennie egy színű számnak az egymást követő , , , között. Az , , , számokra teljesülnek a | | egyenlőtlenségek, és ezt akartuk bizonyítani.
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.) |
|