|
Feladat: |
F.3021 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bámer Balázs , Bánn Richárd , Bárász Mihály , Bende Gabriella , Birszki Bálint , Dévényi Csaba , Ehreth Imre , Erdélyi László , Farkas Illés , Farkas Péter , Fey Dániel , Galácz Ábel , Gémes Tamás , Gergely Levente , Gilyén Péter , Gombos László , Gyarmati Katalin , György András , Hegedűs Márton , Herényi Gergely , Horváth István , Izsák Ferenc , Kartai Andrea , Kasza Tamás , Kerekes Tamás , Kiss Zoltán , Koblinger Egmont , Lőrinczi Ferenc , Maróti Attila , Maróti Gábor , Méder Áron , Mile István , Nagy Anett , Nagy Katalin , Németh Ákos , Németh Zoltán , Perényi Márton , Petrás Miklós , Puskás Csaba , Raisz Dávid , Rózsa Gábor , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szailer Tamás , Szeredi Tibor , Torma Péter , Valkó Benedek , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1995/február,
96 - 97. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Térgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/május: F.3021 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a gúla csúcsai , , , , és alapélre illeszkedő sík messe a lapot az aranymetszés szerint az szakaszban (lásd az ábrát). Az pontokon átmenő sík nyilván felezi a gúla térfogatát. Ezért elég megmutatnunk, hogy az gúla térfogata egyenlő az gúla térfogatával. Bevezetjük a következő típusú jelöléseket: pl. jelentse az , , , csúcsokkal rendelkező gúla térfogatát, pedig a háromszög területét. Legyen továbbá az csúcs távolsága a laptól , távolsága az négyszög síkjától , az trapéz magassága . Előbbi megjegyzésünk szerint elég bebizonyítani, hogy vagy | | (2) | Ezt úgy tesszük, hogy kiszámítjuk (2) mindkét oldalát. A bal oldal: | | ahol fölhasználtuk, hogy hasonló háromszögek területének aránya az oldalak arányának négyzete. A (2) jobb oldala: | |
Ezzel beláttuk (1)-et, ami ekvivalens a feladat állításával.
Horváth István (Fonyód, Mátyás Király Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzés. Több megoldónk a feladatot általánosította paralelogramma alapú gúlára, illetve tetszőleges esetén meghatározta, hogy az alapélre illeszkedő sík milyen arányú részekre osztja a gúla térfogatát.
|
|