Feladat:	F.3021	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bámer Balázs ,  Bánn Richárd ,  Bárász Mihály ,  Bende Gabriella ,  Birszki Bálint ,  Dévényi Csaba ,  Ehreth Imre ,  Erdélyi László ,  Farkas Illés ,  Farkas Péter ,  Fey Dániel ,  Galácz Ábel ,  Gémes Tamás ,  Gergely Levente ,  Gilyén Péter ,  Gombos László ,  Gyarmati Katalin ,  György András ,  Hegedűs Márton ,  Herényi Gergely ,  Horváth István ,  Izsák Ferenc ,  Kartai Andrea ,  Kasza Tamás ,  Kerekes Tamás ,  Kiss Zoltán ,  Koblinger Egmont ,  Lőrinczi Ferenc ,  Maróti Attila ,  Maróti Gábor ,  Méder Áron ,  Mile István ,  Nagy Anett ,  Nagy Katalin ,  Németh Ákos ,  Németh Zoltán ,  Perényi Márton ,  Petrás Miklós ,  Puskás Csaba ,  Raisz Dávid ,  Rózsa Gábor ,  Séllei Béla ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szailer Tamás ,  Szeredi Tibor ,  Torma Péter ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán
Füzet:	1995/február, 96 - 97. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: F.3021

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Legyenek a gúla csúcsai $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ és $AB$ alapélre illeszkedő sík messe a $DCE$ lapot az aranymetszés szerint az $FG$ szakaszban (lásd az ábrát). Az $ACE$ pontokon átmenő sík nyilván felezi a gúla térfogatát. Ezért elég megmutatnunk, hogy az $ACDE$ gúla térfogata egyenlő az $AFGBE$ gúla térfogatával. Bevezetjük a következő típusú jelöléseket: pl. $V_{ACDE}$ jelentse az $A$, $C$, $D$, $E$ csúcsokkal rendelkező gúla térfogatát, $T_{CDE}$ pedig a $CDE$ háromszög területét. Legyen továbbá az $A$ csúcs távolsága a $CDE$ laptól $m_1$, $E$ távolsága az $ABGF$ négyszög síkjától $m_2$, az $ABGF$ trapéz magassága $m_3$. Előbbi megjegyzésünk szerint elég bebizonyítani, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{ACDE}=V_{AFGBE}\mathrm{,}}\end{array}$ (1) vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V_{ACDE}}{V_{AFGE}}=\frac{V_{AFGBE}}{V_{AFGE}}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ezt úgy tesszük, hogy kiszámítjuk (2) mindkét oldalát. A bal oldal: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V_{ACDE}}{V_{AFGE}}=\frac{T_{CDE}\cdot m_1}{T_{GFE}\cdot m_1}={\left(\frac{CD}{FG}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}\right)}^2=\frac{3+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol fölhasználtuk, hogy hasonló háromszögek területének aránya az oldalak arányának négyzete. A (2) jobb oldala: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V_{AFGBE}}{V_{AFGE}}=\frac{T_{ABGF}\cdot m_2}{T_{AGF}\cdot m_2}=\frac{\frac{AB+FG}{2}\cdot m_3}{\frac{FG\cdot m_3}{2}}=\frac{AB}{FG}+1=\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}+1=\frac{3+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel beláttuk (1)-et, ami ekvivalens a feladat állításával.  Horváth István (Fonyód, Mátyás Király Gimn., III. o.t.)   Megjegyzés. Több megoldónk a feladatot általánosította paralelogramma alapú gúlára, illetve tetszőleges $\frac{FG}{AB}$ esetén meghatározta, hogy az $AB$ alapélre illeszkedő sík milyen arányú részekre osztja a gúla térfogatát.