Feladat:	F.3018	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Izsák Ferenc ,  Kartai Andrea ,  Németh Zoltán ,  Valkó Benedek
Füzet:	1995/február, 93 - 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: F.3018

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle k\sqrt[]{x_k-k^2}=\sqrt[]{k^2\left(x_k-k^2\right)}\le \frac{k^2+\left(x_k-k^2\right)}{2}=\frac{x_k}{2}\left(1\le k\le n\text{egész}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és egyenlőség pontosan akkor áll, ha $k^2=\left(x_k-k^2\right)$, azaz $x_k=2k^2$. Ha ezeket az egyenlőtlenségeket összeadjuk, azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x_1-1^2}+2\sqrt[]{x_2-2^2}+\text{...}+n\sqrt[]{x_n-n^2}\le \frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{2}}\end{array}$ és egyenlőség csak akkor áll, ha minden $k$-ra $x_k=2k^2$. A megoldás tehát: $x_1=2$, $x_2=8$, $x_3=18$, $\text{...}$, $x_n=2n^2$.   II. megoldás. Írjuk fel a Cauchy‐Schwarz egyenlőtlenséget az 1, 2, $\text{...}$, $n$, illetve $\sqrt[]{x_1-1^2}$, $\text{...}$, $\sqrt[]{x_n-n^2}$ számokra, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 1\sqrt[]{x_1-1^2}+2\sqrt[]{x_2-2^2}+\text{...}+n\sqrt[]{x_n-n^2}\le }\\ \hfill {\displaystyle \le \sqrt[]{1^2+2^2+\text{...}+n^2}\sqrt[]{\left(x_1-1^2\right)+\text{...}+\left(x_n-n^2\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{\left(1^2+\text{...}+n^2\right)\left(x_1+\text{...}+x_n-\left(1^2+\text{...}+n^2\right)\right)}\le }\\ \hfill {\displaystyle \le \frac{\left(1^2+\text{...}+n^2\right)+\left(x_1+\text{...}+x_n-1^2-\text{...}-n^2\right)}{2}=\frac{x_1+\text{...}+x_n}{2}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Egyenlőség az első esetben akkor áll, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x_1-1^2}:\sqrt[]{x_2-2^2}:\text{...}:\sqrt[]{x_n-n^2}=1:2:\text{...}:n\mathrm{,}}\end{array}$ azaz valamilyen valós $c$ számra $\sqrt[]{x_k-k^2}=ck$. A második esetben pedig az az egyenlőség feltétele, hogy $1^2+\text{...}+n^2=x_1+\text{...}+x_n-1^2-\text{...}-n^2$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+\text{...}+x_n=2\left(1^2+\text{...}+n^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve $x_k$ helyére ${\left(ck\right)}^2+k^2=\left(c^2+1\right)k^2$-et: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(c^2+1\right)\left(1^2+\text{...}+n^2\right)=2\left(1^2+\text{...}+n^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $c^2+1=2$. Mindez együtt azt jelenti, hogy egyenlőség pontosan akkor áll, ha $x_k=2k^2$ minden $k$-ra.  Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)