A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint | | és egyenlőség pontosan akkor áll, ha , azaz . Ha ezeket az egyenlőtlenségeket összeadjuk, azt kapjuk, hogy | | és egyenlőség csak akkor áll, ha minden -ra . A megoldás tehát: , , , , .
II. megoldás. Írjuk fel a Cauchy‐Schwarz egyenlőtlenséget az 1, 2, , , illetve , , számokra, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget: | | Egyenlőség az első esetben akkor áll, ha | | azaz valamilyen valós számra . A második esetben pedig az az egyenlőség feltétele, hogy , azaz Behelyettesítve helyére -et: | | vagyis . Mindez együtt azt jelenti, hogy egyenlőség pontosan akkor áll, ha minden -ra.
Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|
|