Kezdőlap


Feladat:	Gy.2929	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Baldvin , Rozsnyai Ádám
Füzet:	1995/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Konstruktív megoldási módszer, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2929

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$\begin{matrix} x_{1} & A & x_{2} \\ C & D \\ x_{3} & B & x_{4} \end{matrix}$

Látható, hogy a végeredmény szempontjából csak az ábrán

A

B

C

D

jelű mezőkben levő számok (jelölje őket

a

b

c

d

) összege számít, hiszen az első és harmadik sok számainak összege

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + a + b

, míg az első és harmadik oszlopnál az összeg

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + c + d

, azaz Anna pontosan akkor nem veszít, ha

a + b \geq c + d

.
Rendezzük növekvő sorba a kártyákon levő számokat, legyenek ezek

a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{9}

. Megadunk egy játékmódot, amelynek eredményeképpen Anna nem veszíthet:
1. eset:

a_{1} + a_{9} \geq a_{2} + a_{8}

. Ekkor tegye

a_{9}

-et az

A

mezőre, ezáltal

a + b \geq a_{1} + a_{9}

biztosítva van (hiszen

b \geq a

, mindenképpen fennáll). Miután Balázs tett, Anna a

C

és

D

mezőknek legalább az egyikére még tehet, és ehhez az

a_{1}

-es és az

a_{2}

-es kártyákból is legalább az egyik még a rendelkezésére áll. Tegye ezt (vagy ezek egyikét)

C

és

D

közül arra, amelyikre még lehet (vagy ezek közül az egyikre). Így elérte, hogy

c + d \leq a_{2} + a_{8}

(hiszen az egyiken

a_{1}

vagy

a_{2}

van, a másikon pedig legfeljebb

a_{8}

). Azaz

\begin{matrix} a + b \geq a_{1} + a_{9} \geq a_{2} + a_{8} \geq c + d, \end{matrix}

Anna tehát nem veszített.
2. eset:

a_{1} + a_{9} < a_{2} + a_{8}

. Ilyenkor tegye

a_{1}

-et a

C

mezőre, így

c + d \leq a_{1} + a_{9}

fennállását biztosította. Miután Balázs is tett, Anna lépjen az előző esethez hasonlóan: az

A

és

B

közül az egyikbe tegye

a_{8}

-at vagy

a_{9}

-et (ezt biztosan megteheti). Ily módon

a + b \geq a_{2} + a_{8}

(az egyik ugyanis

a_{8}

vagy

a_{9}

, a másik pedig legalább

a_{2}

, hiszen

a_{1}

már

C

-n van), azaz

\begin{matrix} a + b \geq a_{2} + a_{8} \geq a_{1} + a_{9} \geq c + d, \end{matrix}

tehát Anna nyert.
Más eset nincs, így az állítást beláttuk. Felmerül viszont, hogy vajon mikor tud Anna győzni is, illetve mikor érhet el Balázs döntetlent. Az mindenesetre látszik, hogy ez utóbbi csak

a_{1} + a_{9} = a_{2} + a_{8}

esetén lehetséges. Az

a_{1} = a_{2} = ... = a_{9}

kártyákra nyilván döntetlen az eredmény, ám hogy mikor máskor, az várhatóan elég bonyolult és szerteágazó esetszétválasztást igényel.

Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) és

Rozsnyai Ádám (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján