Kezdőlap


Feladat:	Gy.2928	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szentiványi Eszter
Füzet:	1995/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2928

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg először az állításban szereplő kifejezések értelmességét, azaz, hogy nem osztottunk-e valahol nullával vagy vontunk négyzetgyököt negatív számból. A $p > 0$ feltételből azonnal látszik, hogy sehol sem tettünk ilyet.
A továbbiakban átalakítjuk az egyenlőtlenséglánc középső tagját:

\begin{matrix} (2 p + 1) (\sqrt[]{\frac{p + 1}{p}} - \sqrt[]{\frac{p}{p + 1}}) = (2 p + 1) (\frac{\sqrt[]{p + 1} \sqrt[]{p + 1} - \sqrt[]{p} \sqrt[]{p}}{\sqrt[]{p (p + 1)}}) = \frac{2 p + 1}{\sqrt[]{p^{2} + p}}, \end{matrix}

ismét használva a feltételt:

p > 0

s így

p + 1 > 0

is fennáll.
Ezután először a jobb oldali egyenlőtlenséget bizonyítjuk. Mivel

\sqrt[]{p^{2} + p} > 0

, így elegendő (s persze szükséges is) azt igazolni, hogy

\begin{matrix} 2 p + 1 > 2 \sqrt[]{p^{2} + p}, \end{matrix}

(1)

rendezve

\begin{matrix} 2 p + 1 - 2 \sqrt[]{p} \sqrt[]{p + 1} > 0, \end{matrix}

viszont a bal oldal éppen teljes négyzet, és így nemnegatív:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{p} - \sqrt[]{p + 1})}^{2} = p + p + 1 - 2 \sqrt[]{p} \sqrt[]{p + 1} = 2 p + 1 - 2 \sqrt[]{p} \sqrt[]{p + 1}, \end{matrix}

és mivel

\sqrt[]{p} - \sqrt[]{p + 1} \neq 0

, azért (1)-ben valóban határozott egyenlőtlenség áll.
Tekintsük most a bal oldali egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 2 + \frac{1}{2 (p^{2} + p)} > \frac{2 p + 1}{\sqrt[]{p^{2} + p}} . \end{matrix}

A bal oldalt átalakítva:

\begin{matrix} 2 + \frac{1}{2 (p^{2} + p)} = \frac{4 p^{2} + 4 p + 1}{2 (p^{2} + p)} = \frac{{(2 p^{2} + 1)}^{2}}{2 (p^{2} + p)} = \frac{2 p + 1}{\sqrt[]{p^{2} + p}} \frac{2 p + 1}{2 \sqrt[]{p^{2} + p}}, \end{matrix}

vagyis a bizonyítandót ekvivalens módon átfogalmazhatjuk:

\begin{matrix} \frac{2 p + 1}{\sqrt[]{p^{2} + p}} (\frac{2 p + 1}{2 \sqrt[]{p^{2} + p}} - 1) > 0. \end{matrix}

A bal oldalon álló első tényező pozitivitása a

p > 0

feltételből látszik, míg a másodiké a következő átalakításból:

\begin{matrix} \frac{2 p + 1}{2 \sqrt[]{p^{2} + p}} - 1 = \frac{2 p + 1 - 2 \sqrt[]{p^{2} + p}}{2 \sqrt[]{p^{2} + p}} . \end{matrix}

Itt a nevező (szintén

p > 0

miatt) pozitív, a számlálóról pedig ezt az éppen az előbb igazolt (1) egyenlőtlenség mutatja. Ezzel a teljes feladatot megoldottuk.

Szentiványi Eszter (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján