Kezdőlap


Feladat:	Gy.2927	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Részhalmazok, Halmazalgebra, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2927

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyszerűbb szemléltetés érdekében tekintsük az ábrán látható Venn-diagramot. A rajzon szereplő számok segítségével fogunk az őket tartalmazó mezőkre hivatkozni.

A \cap B \neq \emptyset

feltétel pontosan azt jelenti, hogy az egyessel vagy a kettessel jelölt részben van elem. Az

A \cap C \neq \emptyset

feltétel azzal ekvivalens, hogy a kettes vagy a hármas rész közül legalább az egyikben található elem. Az

(A \cap B) ∖ C \neq \emptyset

pedig azt jelenti, hogy az egyes rész nem üres.
Látható, hogy mindhárom feltétel teljesül, hogy mind az egyes, mind a kettes részben van elem; s ilyen halmazokat számtalan módon megadhatunk. Nyilván jó halmazhármas például az

A = B = {1,2}

C = {2}

, hiszen

A \cap B = {1,2} \neq \emptyset

A \cap C = {2} \neq \emptyset

(A \cap B) ∖ C = {1,2} ∖ {2} = {1} \neq \emptyset

. Ezzel a kérdést megválaszoltuk.

Higyed Gábor (Budapest, Jedlik Á. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A megoldáshoz természetesen elég lett volna egy megfelelő halmazhármas megadása és a feltételek ellenőrzése. Azonban a Venn-diagram megrajzolása kiemeli minden ilyen konstrukció lényegét, valamint segítségével könnyen tárgyalható a feladat eredeti szándék szerinti változata is, amely a következő:

\begin{matrix} A \cap B \neq \emptyset, A \cap C = \emptyset, (A \cap B) ∖ C = \emptyset . \end{matrix}

A \cap C = \emptyset

feltétel szerint a 2 és 3 jelű részek üresek, az

(A \cap B) ∖ C = \emptyset

miatt pedig az 1 jelű rész üres; ám ekkor üres az 1 és 2 jelű mezők mindegyike, ami ellentmond az

A \cap B \neq \emptyset

feltételnek. A válasz ebben az esetben tehát nemleges lett volna.