A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot általánosabban oldjuk meg: tegyük föl, hogy a csoportok csapatból állnak, és azok jutnak tovább, akik legfeljebb vereséget szenvednek. A kérdés pedig az eredeti: hányan juthatnak tovább egy csoportból? Az esetben persze mindenki továbbjut, így a továbbiakban tegyük föl, hogy és ennek megfelelően . Jelölje a továbbjutók számát , és vizsgáljuk meg először azokat a mérkőzéseket, amelyeket ők játszottak egymás között. Látható, hogy ez mérkőzést jelent: mindenki másikkal játszott, ez , viszont ekkor mindent pontosan kétszer számoltunk. Minden mérkőzésnek volt vesztese, ezért a továbbjutó csapat összesen legalább vereséget szenvedett. Közülük senki sem kapott ki -nél többször, ezért teljesül. Ez nyilván fennáll a esetben, máskor pedig a alakra hozható. Mivel ennek a is megfelel, így tehát azt kaptuk, hogy a továbbjutók száma legfeljebb lehet. Hasonló meggondolást alkalmazunk a kiesők egymás közötti mérkőzéseire. Közülük mindegyik csapat legfeljebb továbbjutótól kaphatott ki, s mivel összesen legalább -szer veszített (hiszen kieső), így legalább kiesőtől is vereséget szenvedett. Azaz a kiesők egymás között összesen legalább -szer veszítettek. Ez nem lehet több, mint az általuk egymással játszott összes mérkőzésük száma, vagyis | | Ez esetén (ekkor ugyanis , hiszen nyilvánvaló) alakot ölt, s ez tartalmazza a esetet is ( alapján). Azt kaptuk tehát, hogy a lehetséges számokra teljesül. Most megmutatjuk, hogy ezek valóban jók is: minden ilyen -re megadjuk a mérkőzések olyan kimenetelét, amelynél csapat jut tovább. Ehhez először kijelölünk csapatot ‐ ők lesznek a továbbjutók, a többiek kiesnek. A köztük levő mérkőzések eredményét is úgy választjuk meg, hogy mindig a továbbjutó csapat legyen a győztes. Vizsgáljuk most a továbbjutók egymás közti meccseit. Tekintsük először a esetet. A csapatokat körbeállítjuk; mindenki legyőzi a tőle jobbra álló csapatot, a többitől pedig vereséget szenved. Ezzel biztosítottuk, hogy ez a csapat valóban továbbjut. A esetekben a következőképpen járunk el: képzeletben csapatra egészítjük ki a továbbjutókat, köztük a már leírt módon elrendezzük az eredményeket, majd a valójában tovább nem jutó csapatok győztes mérkőzéseinek eredményét megfordítjuk. Ez valóban jó, hiszen ekkor a csapat egyike sem veszített -nél többször. Most vizsgáljuk a kiesők mérkőzéseit. Ezúttal a esettel kezdjük. Ekkor kieső van. Az előbbi ,,körbeállítós'' módszerrel elérhető, hogy a kiesők egyenként meccset veszítenek el egymás ellen. Ezenkívül a továbbjutóktól is kikapnak, tehát összesen -szer veszítenek, és ezzel kiesnek. A nagyobb -kre kevesebb kieső lesz, úgyhogy a már látott módon képzeletben kiegészítjük őket -ra, beosztjuk a mérkőzéseket, majd a valójában továbbjutók egymás közti eredményeit visszaállítjuk a már rögzítettekre, a kiesőktől elszenvedett vereségeiket pedig győzelemre módosítjuk. Ezáltal a kieső mindegyike legalább -szer veszített, és a továbbjutók korábban már meghatározott eredményei sem változtak. Figyelmesen megnézve, eddigi gondolatmenetünk kisebb pontosításra szorul. Előfordulhat ugyanis, hogy vagy teljesül, és az ilyen -k nyilván nem lehetségesek. Tehát legfeljebb a | | állítás lehet igaz. Ekkor viszont a konstrukcióban is gondok lépnek föl: amikor a továbbjutót -re egészítjük ki, talán nincs is annyi csapat, s ugyanez vonatkozhat a kiesők -ra való kiegészítésre. A következő megfontolással azonban ezek a problémák kiküszöbölhetők. Ha több csapatra kell kiegészíteni, mint amennyi van, akkor ehhez ,,fiktív'' csapatokat is használunk. Ugyanúgy kiosztjuk a mérkőzések eredményeit, majd először elhagyjuk a fiktív csapatokat (mérkőzéseikkel együtt), utána pedig a többieket (mérkőzéseiket korrigálva). A továbbjutók kiegészítésekor ez a művelet nem növeli a kiválasztott csapat vereségeinek számát, a kiesőkénél pedig a győzelmekét. Azaz, a továbbjutásra szánt csapatnak az elhagyás után is legfeljebb veresége lesz, a másiknak pedig legfeljebb győzelme, vagyis az a csapat továbbjut, a többi pedig nem. Ezzel tehát minden -re megadtuk a bajnokság egy megfelelő kimenetelét, ily módon a feladatot megoldottuk. A kérdezett , és , esetben a továbbjutók számára | | teljesül, azaz 0, 1, 2 vagy 3 csapat juthat tovább.
Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Sok megoldó csak a továbbjutók maximális számát határozta meg, ezért csak részpontszámot kapott. Nem kapott pontot, aki csak ábrát küldött. Természetesen azok, akik az eredeti feladatot a konkrét esetre (a megadott megoldáshoz hasonló gondolatmenettel) megoldották, 5 pontot kaptak.
|