Feladat:	Gy.2925	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 87 - 88. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Kör geometriája, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: Gy.2925

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. ábra   A középponttól 3 méterre álló ember a hirdetőoszlopnak azt a részét látja, amit a 3 méter távolságból a hirdetőoszlophoz húzott érintősíkok határolnak. Nyilván elegendő az oszlop helyett egy kört vizsgálnunk. Az 1. ábra jelöléseit használva az $M$ pontból az $E_1{E}_2$ ívet látják az emberek. Jelöljük ennek az ívnek a hosszát $s$-sel, az $E_{1}O{E}_2$ szöget pedig $2\phi$-vel. Ekkor az $E_{1}OM$ derékszögű háromszögben $\text{cos}\phi =\frac{1}{4}$, azaz $\phi \approx 75\mathrm{,}{52}^{\circ }$; az ív hossza pedig $s\approx 0\mathrm{,}75\cdot 2\pi \cdot \frac{2\cdot 75\mathrm{,}{52}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\approx 1\mathrm{,}977$ méter. Ha a plakátok maximális szélességét $d$-vel jelöljük, akkor $d\le \frac{s}{2}$, mert $d>\frac{s}{2}$ esetén mindig található olyan $s$ hosszúságú ív, amelyik egyetlen plakátot sem tartalmaz teljes egészében: ha két plakát határvonala éppen az ív felezőpontjánál van, akkor mindkét plakát túlnyúlik az íven (2. ábra).   2. ábra   Mivel maximális szélességű plakátokat keresünk, azért feltehetjük, hogy a plakátok hézag és átfedés nélkül körbeérik az oszlopot, vagyis az oszlop kerülete a plakátok szélességének egész számú többszöröse. Ha $n$ darab plakátunk van, akkor $\frac{0\mathrm{,}75\cdot 2\pi }{n}\le \frac{s}{2}$ kell teljesüljön, amiből $4\mathrm{,}767<n$ adódik. Tehát $n$ legkisebb lehetséges értéke $5$, az ehhez tartozó plakátszélesség pedig $\frac{0\mathrm{,}75\cdot 2\pi }{5}\approx 0\mathrm{,}942$ méter.