Kezdőlap


Feladat:	C.368	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Csonkakúp, Térfogat, Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: C.368

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a csonkakúp térfogata

\begin{matrix} V_{cs} = \frac{π}{3} m (R^{2} + r^{2} + R r), \end{matrix}

ahol

R

az alapkör,

r

a fedőkör sugarát jelöli. A gömb térfogata:

\begin{matrix} V_{g} = \frac{4 π ϱ^{3}}{3}, \end{matrix}

ϱ

a gömb sugara. Ekkor a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{π}{3} m (R^{2} + r^{2} + R r) = 2 \cdot \frac{4 π ϱ^{3}}{3}, \end{matrix}

egyszerűsítve és

m = 2 ϱ

-t helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} R^{2} + r^{2} + R r = 4 ϱ^{2} \end{matrix}

(1)

Tudjuk, hogy ha a csonkakúpot elmetsszük az alapkörének középpontján átmenő, alapsíkra merőleges síkkal, a síkmetszet egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz párhuzamos oldalai

2 R

, illetőleg

2 r

, szárai pedig az érintőszakaszok egyenlősége miatt

R + r

.
Ekkor Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} {(2 ϱ)}^{2} = {(R + r)}^{2} - {(R - r)}^{2} = 4 R r . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve (1)-be az

\begin{matrix} R^{2} + r^{2} - 3 R r = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk.
Osszuk végig az egyenletet

R r \neq 0

-val, és vezessük be az

\frac{R}{r} = u

új ismeretlent, ekkor egyszerűsítés után az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} u^{2} - 3 u + 1 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} u = \frac{R}{r} = \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2}, azaz R = \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2} r \approx 2, 618. \end{matrix}

(Az egyenlet másik gyöke az

\frac{r}{R}

hányados értékét adja.)