Kezdőlap


Feladat:	C.367	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos Viktor , Csabina Tamás , Császár Miklós , Egyed Gábor , Gaál Adrienn , Gerdán Csongor , Hegedűs Dalma , Majlender Péter , Pápai Tivadar , Simonics Gábor , Szabó Gábor , Terpai Tamás
Füzet:	1995/február, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Súlypont, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: C.367

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a háromszög súlypontja mindegyik súlyvonalat $2 : 1$ arányban osztja (a hosszabbik rész a csúcs felé van). Az $A$ csúccsal szemközti oldal felezőpontjának koordinátái ezért: $(- \sqrt[]{3}; - \sqrt[]{3})$ . Ez egyrészt az előbb említett arányból következik, másrészt tudjuk, hogy $F$ az $A S$ szakasz origón túli meghosszabbításán $A$ -tól ellentétes irányba, azaz a IV. síknegyedbe esik. Mivel a háromszög szabályos, $A F ⊥ B C$ . A háromszög körülírt körének középpontja az origó, és sugara

\begin{matrix} S A = \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{3})}^{2} + {(2 \sqrt[]{3})}^{2}} = \sqrt[]{24} . \end{matrix}

A kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 24. \end{matrix}

A F

egyenes iránytangense

1

, így a rá merőleges

B C

egyenes iránytangense

- 1

, és ez az egyenes áthalad az

F (- \sqrt[]{3}; - \sqrt[]{3})

ponton, így egyenlete:

\begin{matrix} y = - x - 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = 24 \\ x + y & = - 2 \sqrt[]{3} \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszer megoldásai adják a hiányzó csúcsok koordinátáit, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & = 3 - \sqrt[]{3} \approx 1, 268, \\ x_{2} & = - 3 - \sqrt[]{3} \approx - 4, 732, \end{matrix} \begin{matrix} y_{1} & = - 3 - \sqrt[]{3} \approx - 4, 732; \\ y_{2} & = 3 - \sqrt[]{3} \approx 1, 268. \end{matrix} \end{matrix}

Ábránk jelölése szerint:

\begin{matrix} B (- 3 - \sqrt[]{3}; 3 - \sqrt[]{3}), C (3 - \sqrt[]{3}; - 3 - \sqrt[]{3}) . \end{matrix}