Kezdőlap


Feladat:	C.366	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Irracionális egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: C.366

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot megoldók közül a legtöbben $\sqrt[6]{x} = y$ helyettesítéssel az eredeti egyenletből az

\begin{matrix} 1 + 2 y^{3} - y^{2} - 2 y = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutottak, és észrevették, hogy szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (2 y - 1) (y^{2} - 1) = 0. \end{matrix}

A szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője is az, innen

\begin{matrix} y = \frac{1}{2}, y = \pm 1. \end{matrix}

Visszahelyettesítve, miután

\sqrt[6]{x} = - 1

nem lehet, az eredeti egyenletre két megoldást kapunk:

\begin{matrix} x_{1} = 1 és x_{2} = \frac{1}{64} . \end{matrix}

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy mindkét megoldás kielégíti az egyenletet.

Megjegyzés. Sajnos a példa sajtóhibával jelent meg, így sokan az

\begin{matrix} a + 2 \sqrt[]{x} - \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[6]{x} = 0 \end{matrix}

egyenletet próbálták értelmezni (

a

paraméter-e vagy változó?) és megoldani. Többen ábrázolták a függvényt a különböző lehetséges

a

paraméterek mellett, mások a Cardano-képlettel próbálták több-kevesebb sikerrel a harmadfokú egyenlet gyökeit meghatározni.