Kezdőlap


Feladat:	C.364	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó Zsuzsanna , Bicsák Attila , Bozsaky Tamás , Diósy Tamás , Gulyás Katalin , Honvári István , Horváth Attila , Jalsovszky Tamás , Jáni Vera , Kaproncai Ákos , Kósa Gyula , Molnár Ágnes , Nyul Gábor , Pálfalvi Tamás , Polyák Krisztina , Takács Kornél , Takács Péter , Vass István , Zawadowski Ádám
Füzet:	1995/február, 82 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Csonkagúlák, Trapézok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: C.364

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyű belátni, hogy a csonkagúla minden oldala olyan trapéz, amelynek az alapon fekvő szögei $60^{\circ}$ -osak.

1. ábra

2. ábra

Rajzoljuk be a feljáró egyes darabjait egymás után az

A B C D

trapézba

A

-tól kiindulva. Az emelkedési szög

α

, az első szakasz a

B C

oldalt a

P

, a második az

A D

oldalat a

Q

, a harmadik a

B C

oldalt az

R

pontban metszi, a beérkező csúcs a

D

(2. ábra). A

P

Q

és

R

ponton keresztük húzzunk párhuzamosokat a trapéz alapjával, ezek a szemközti szárt a

P_{1}

Q_{1}

R_{1}

pontban metszik. Jelöljük a

P P_{1}

Q Q_{1}

R R_{1}

szakaszokat rendre

x

y

z

-vel.
Az

A B P

P P_{1} Q

Q_{1} Q R

R_{1} R D

háromszögek hasonlók (szögeik egyenlők), így oldalaikra felírhatjuk a következő aránypárokat:

\begin{matrix} 81 : x = x : y = y : z = z : 16. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x^{2} = 81 y, y^{2} = x z, z^{2} = 16 y; \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{z^{2}} = \frac{81}{16}, \end{matrix}

s mivel

x

y

z

pozitív,

\begin{matrix} \frac{x}{z} = \frac{9}{4}, y^{2} = \frac{9}{4} z^{2}, y = \frac{3}{2} z, \end{matrix}

z^{2} = 16 \cdot \frac{3}{2} z

-ből

\begin{matrix} z = 24, y = 36, x = 54. \end{matrix}

Ezen szakaszok ismeretében meghatározhatjuk a

B P

B Q_{1}

B R

távolságokat.

B P = A B - P P_{1} = 27

, és hasonlóan

P Q_{1} = 18

Q_{1} R = 12

és

R D = 8

. Tehát a feljáró és az oldalélek érintkezési pontjai a megfelelő oldalél alsó végpontjától rendre 27, 45, 57 m távolságra vannak.