Kezdőlap


Feladat:	C.363	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: C.363

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szinusztétel alapján a feladat szövege szerint

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}, amiből b = 2 a . (ld. azábrajelöléseit.) \end{matrix}

A háromszög ismert területképletéből

\begin{matrix} \frac{1}{4} = \frac{a b sin γ}{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 4 a^{2} s i n γ = 1. \end{matrix}

(1)

γ

szögre felírjuk a koszinusztételt:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1^{2} = a^{2} + 4 a^{2} - 4 a^{2} cos γ, \\ cos γ = \frac{5 a^{2} - 1}{4 a^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

és a négyzetes összefüggésből

\begin{matrix} sin γ = \sqrt[]{1 - {(\frac{5 a^{2} - 1}{4 a^{2}})}^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} \sqrt[]{- 9 a^{4} + 10 a^{2} - 1} . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve (1)-be

\begin{matrix} \sqrt[]{- 9 a^{4} + 10 a^{2} - 1} = 1. \end{matrix}

Négyzetre emelve és rendezve

\begin{matrix} 9 a^{4} - 10 a^{2} + 2 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & = 0, 9217 \\ a_{2} & = 0, 5115 \end{matrix} és \begin{matrix} b_{1} & = 1, 8434; \\ b_{2} & = 1, 0230. \end{matrix} \end{matrix}

Ha a kapott értékekre felírjuk a koszinusztételt, az első esetben a

β

szögre

90^{\circ}

-nál nagyobb értéket kapunk. Ez tehát feladatunknak nem megoldása. Könnyen ellenőrizhető viszont, hogy a második esetben a háromszög valamennyi szöge hegyesszög.

Megjegyzés. A megoldók többsége a hiányzó oldalakat a Heron képlet segítségével számította ki. Természetesen ők is 5 pontot kaptak, feltéve, hogy nem hibáztak a számításoknál.