Kezdőlap


Feladat:	C.362	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zöldy Balázs
Füzet:	1995/február, 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: C.362

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint

\begin{matrix} x^{2} = 1, 5 y^{3}, \end{matrix}

ahol

x

y

egész számok.
Mivel

x^{2} \geq 0

és a keresett szám legfeljebb négyjegyű, azért

x^{2} \leq 9999

, és így

0 \leq y \leq 18

. Az

y^{3}

csak páros szám lehet, különben másfélszerese nem volna egész szám. Mivel

y^{3}

páros, így

x^{2}

osztható 3-mal, (

2 \cdot 1, 5 = 3

miatt), ezért 9-cel is osztható (hiszen négyzetszám). Az

1, 5 y^{3}

pedig csak úgy lehet osztható 9-cel, ha

y

többszöröse 3-nak. Mindezekből az következik, hogy

y

osztható 6-tal.
Most már csak négy esetet kell megvizsgálnunk:

\begin{matrix} y & y^{3} & 1, 5 y^{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & 216 & 324 \\ 12 & 1728 & 2592 \\ 18 & 5832 & 8748 \end{matrix}

A táblázatból láthatjuk, hogy csak a 0 és a 324 négyzetszám (

0^{2} = 1, 5 \cdot 0^{3}

és

18^{2} = 1, 5 \cdot 6^{3}

), ezek tehát a keresett számok.

Zöldy Balázs (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján