Kezdőlap


Feladat:	C.360	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bujdosó Ildikó , Császár Miklós , Dán György , Fülöp Levente , Förhécz András , Herczeg Szabolcs , Honvári István , Kocsis Róbert , Konok Edit , Magyar Anna , Szatvári Zsolt , Takács Kornél , Terpai Tamás , Tóth Lajos , Varga Melinda
Füzet:	1995/február, 80 - 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/április: C.360

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömböket burkoló $A B C D E$ gúla alapja az $A B C D$ négyzet, csúcsa $E$ . Térfogatának kiszámításához ismerni kell a gúla magasságát és a négyzet oldalának hosszát.

1. ábra

Az alapsíkon elhelyezkedő, egymást érintő 9 darab egységsugarú gömb középpontjai az alapsíktól 1 cm magasságban, az alappal párhuzamos síkon helyezkednek el. Felülnézetből (a metsző sík 1 cm-rel magasabban van) az 1. ábrán látható. Az ábráról leolvashatjuk, hogy

P S = Q S = 4

cm,

P S Q

egyenlő szárú derékszögű háromszög, így

P Q = 4 \sqrt[]{2}

.
Fektessünk az

A

E

C

pontokon keresztül egy síkot. A sík a gúlát egyenlő szárú háromszögben, a gömböket főkörökben metszi, a 2. ábra szerint (elölnézet), ahonnan

\begin{matrix} \begin{matrix} P R = R Q = 4, P T = \frac{1}{2} P Q = 2 \sqrt[]{2}, R T ⊥ P Q, \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} így R T = \sqrt[]{4^{2} - {(2 \sqrt[]{2})}^{2}} = 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

2. ábra

3. ábra

A D

él felezőpontja legyen

F_{1}

, a

B C

él felezőpontja

F_{2}

. Fektessünk az

F_{1}

E

F_{2}

pontokon keresztül egy síkot. A síkmetszet (elölnézetből) a 3. ábrán látható.

\begin{matrix} \begin{matrix} S T = 2, T W = 1, T R = 2 \sqrt[]{2} (az előzőkből), \\ R S = \sqrt[]{2^{2} + {(2 \sqrt[]{2})}^{2}} = 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix} \end{matrix}

P E R

háromszög hasonló a

T R S

háromszöghoz; a hasonlóság aránya

\frac{1}{2}

, ezért

E R = \sqrt[]{3}

. A gúla magassága tehát

m = 1 + 2 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

. Alapéle az

F_{1} E W

S R T

háromszögek hasonlóságából:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a}{2} : 2 = m : 2 \sqrt[]{2} \to a = \frac{2 m}{\sqrt[]{2}} . \\ V_{gúla} = \frac{{(\frac{2 m}{\sqrt[]{2}})}^{2} \cdot m}{3} = \frac{2 m^{3}}{3}, V_{gömbök} = \frac{56 π}{3}, \\ \frac{V_{gömbök}}{V_{gúla}} = \frac{56 π}{2 {(1 + 2 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{3}} \approx 0, 5116. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a gömbök térfogatának összege nagyjából a fele a gúla térfogatának.

Förhécz András (Székesfehérvár, Teleki Blanka Hatosztályos Gimn., I. o.t.)

dolgozata alapján