Kezdőlap


Feladat:	C.359	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pap Júlia , Takács Kornél
Füzet:	1995/február, 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/április: C.359

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszögek szögeit $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ , $...$ , $α_{9}$ , $α_{10}$ -zel az ábra szerint. Tudjuk, hogy egy húrnégyszögben (és csak abban) a szemközti szögek összege $180^{\circ}$ . Így felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} (α_{1} + α_{2}) + (α_{3} + α_{4}) + (α_{5} + α_{6}) + (α_{7} + α_{8}) + (α_{9} + α_{10}) = 5 \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} (α_{2} + α_{8} + α_{9}) + (α_{4} + α_{6} + α_{10}) = 2 \cdot 360^{\circ} = 720^{\circ} . \end{matrix}

A két egyenlőségből következik, hogy

\begin{matrix} α_{1} + α_{3} + α_{5} + α_{7} = 180^{\circ}, \end{matrix}

ez pedig éppen a nagy négyszög két szemközti szögének összege.

Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 7. o.t.) megoldása alapján