|
Feladat: |
F.3007 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Erdélyi László , György András , Izsák Ferenc , Koblinger Egmont , Maróti Gábor , Németh Zoltán , Rózsa Gábor , Szabó László , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szobonya László , Tarján Dénes , Valkó Benedek |
Füzet: |
1995/január,
24 - 25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elsőfokú diofantikus egyenletek, Sokszög lefedések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/március: F.3007 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel nem osztója a 101-nek, a 101 egység oldalú négyzet nem fedhető le csupán 2 egység oldalú négyzetek felhasználásával. Ugyanez mondható a 3 egység oldalú négyzetekkel való lefedésre. Számozzuk meg ezután a 101 egység oldalú négyzet mezőit úgy, hogy az első oszlopban minden mezőbe egyest, a másodikban kettest, a harmadik oszlopban megint egyest írunk és így tovább (1. ábra). Mivel a 101. oszlopban 101 darab egyes van, az egyesek száma 101-gyel több, mint a ketteseké.
1. ábra Tegyük fel ezután, hogy a -es négyzet 2 egység és 3 egység oldalú négyzetekkel lefedhető. Minden 2 egység oldalú lefedő négyzetben 2 egyes és 2 kettes számozású mező lesz, a 3 egység oldalúakban pedig a 2. és 3. ábra szerinti az egyesek és kettesek száma. Ha a 2. ábra szerinti 3 egység oldalú négyzetekből darab van, a 3. ábra szerintiekből pedig , akkor szükségképpen az egyes, illetve kettes számozású mezők számának különbsége: . Ez azonban azt jelentené, hogy 3 osztója 101-nek, ami ellentmondás. Ezért a feladat kérdésére ,,nem''-mel kell válaszolnunk.
2. ábra
3. ábra
Megjegyzés. Az előbbiekben alkalmazott módszerrel megmutatható, hogy egy oldalú négyzet nem rakható ki és oldalú négyzetek felhasználásával, ha és egyike sem osztója -nek.
|
|