Feladat: F.3007 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Erdélyi László ,  György András ,  Izsák Ferenc ,  Koblinger Egmont ,  Maróti Gábor ,  Németh Zoltán ,  Rózsa Gábor ,  Szabó László ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szobonya László ,  Tarján Dénes ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/január, 24 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Sokszög lefedések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/március: F.3007

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel 2 nem osztója a 101-nek, a 101 egység oldalú négyzet nem fedhető le csupán 2 egység oldalú négyzetek felhasználásával. Ugyanez mondható a 3 egység oldalú négyzetekkel való lefedésre. Számozzuk meg ezután a 101 egység oldalú négyzet mezőit úgy, hogy az első oszlopban minden mezőbe egyest, a másodikban kettest, a harmadik oszlopban megint egyest írunk és így tovább (1. ábra). Mivel a 101. oszlopban 101 darab egyes van, az egyesek száma 101-gyel több, mint a ketteseké.

 
 1.   2.   3.   4.   5.        101.  1  2  1  2  1  .  .  .  1   1  2  1  2  1        1   1  2  1  2  1  .  .  .  1   1  2  1  2  1        1   1  2  1  2  1  .  .  .  1   .    .    .        .   .    .    .        .   .    .    .        .   1  2  1  2  1  .  .  .  1 
1. ábra
 

Tegyük fel ezután, hogy a 101×101-es négyzet 2 egység és 3 egység oldalú négyzetekkel lefedhető. Minden 2 egység oldalú lefedő négyzetben 2 egyes és 2 kettes számozású mező lesz, a 3 egység oldalúakban pedig a 2. és 3. ábra szerinti az egyesek és kettesek száma. Ha a 2. ábra szerinti 3 egység oldalú négyzetekből x darab van, a 3. ábra szerintiekből pedig y, akkor szükségképpen az egyes, illetve kettes számozású mezők számának különbsége: 6x+3y-(3x+6y)=101. Ez azonban azt jelentené, hogy 3 osztója 101-nek, ami ellentmondás. Ezért a feladat kérdésére ,,nem''-mel kell válaszolnunk.
 

  1  2  1   1  2  1   1  2  1 
2. ábra

 

  2  1  2   2  1  2   2  1  2 
3. ábra

 
Megjegyzés. Az előbbiekben alkalmazott módszerrel megmutatható, hogy egy n oldalú négyzet nem rakható ki p és q oldalú négyzetek felhasználásával, ha p és q egyike sem osztója n-nek.