Feladat:	Gy.2924	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárász Mihály ,  Blaskovics Adrienn ,  Blázsovics Henriett ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Fejős Ibolya ,  Formanek Csaba ,  Gyukics Mihály ,  Hegedűs Márton ,  Juhász András ,  Kovács Baldvin ,  Marton Henrietta ,  Nagy Barnabás ,  Orbán András ,  Papp Ágnes ,  Papp Eszter ,  Réfi Veronika ,  Reviczky Ágnes ,  Ruzsa Gábor ,  Sosna Sebastian ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Tóth Mihály András ,  Ugron Balázs ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán ,  Zakariás Ildikó ,  Zugschwert Szabolcs Róbert
Füzet:	1995/január, 23 - 24. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Inverzió, Hozzáférhetetlenségi szerkesztések síkban, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: Gy.2924

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen az adott pont $P$, amelyet az $O_1$ és $O_2$ középpontú $k_1$ és $k_2$ körök egyik $M$ metszéspontjával kell összekötnünk. Azaz meg kell szerkesztenünk a $PM$ egyenest. Válasszunk ki $k_1$ és $k_2$ lapon lévő két körívéből 3‐3 pontot, és ezek segítségével kicsinyítsük a köröket $P$-ből a felére. Ha nem tudjuk megszerkeszteni a köröket ‐ mert középpontjaik nem férnek rá a lapra ‐ vagy ha a kicsinyített körök metszéspontja sem fér még rá a lapra, akkor ismét kicsinyítsük az ábrát $P$-ből a felére. Folytassuk ezt egészen addig, amíg a kicsinyített $k_1\text{'}$ és $k_2\text{'}$ körök $M\text{'}$ metszéspontja rá nem kerül a lapra. (Ez véges sok lépés után bekövetkezik, mert a körök sugara is, és $P$-től való távolságuk is minden lépésben feleződik.) A $k_1\text{'}$ és $k_2\text{'}$ körök $P$ középponttal középpontosan hasonlók a $k_1$ és $k_2$ körökhöz, ezért az $M$ pont az $M\text{'}$-nek $P$-ből való nagyításával kapható. Tehát $P$, $M\text{'}$ és $M$ egy egyenesen vannak, azaz $PM\text{'}$ éppen a keresett egyenes (1. ábra).  Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)   II. megoldás. Vegyünk fel egy olyan kört, amely teljes egészében rajta van a lapon, és az adott $P$ ponton és körökön kívül fekszik. Invertáljuk a síkot erre a körre. (A 2. ábrán ez a kör $k$; $O$ a középpontja.) Egy kört úgy invertálhatunk, hogy vesszük tetszőleges 3 pontját, azokat invertáljuk, és a kapott 3 pont által alkotott háromszög körülírt köre a keresett inverz. Mivel $P$ és a két eredeti kör $k$-n kívül volt, $P\text{'}$ és a két inverz kör $k$-n belül lesz, és így rajta van a papíron a két kör metszéspontja, $A$ és $B$ is. Ha $A$, $P\text{'}$ $O$ egy egyenesen van, akkor az a keresett egyenes (inverze önmaga). Ha $A$, $P\text{'}$, $O$ nincs egy egyenes, akkor az $AP\text{'}O$ háromszög körülírt köre a keresett egyenes inverz képe (ezt a kört jelöljük $c$-vel). Ha $c$-t nem tudjuk megszerkeszteni (a középpontja nem fér rá a lapra), ez azt jelenti, hogy a keresett egyenes túl közel van az $O$-hoz (a $k$ sugarához képest). Ilyenkor addig csökkentjük (pl. felezzük) a $k$ sugarát, és ismételjük az eljárást, amíg $c$ szerkeszthető nem lesz. (Ez biztosan bekövetkezik akkor, amikor $k$-nak már nincs közös pontja a keresett egyenessel.) Ha $c$ metszi $k$-t, akkor a metszéspontokon átmenő egyenes a keresett egyenes (inverze $c$-nek). Ha $c$  $k$-n belül van, akkor keresni kell rajta $P\text{'}$-n kívül még egy pontot, amit invertálni tudunk. Ilyen pontot úgy keresünk, hogy rendre megszerkesztjük a $c$ körön a $P\text{'}O$ körív $P\text{'}$-höz legközelebbi felező, negyedelő, nyolcadoló, $\text{...}$ pontját. Mivel ezek a pontok tetszőlegesen közel kerülhetnek $P\text{'}$-höz, azért inverz képeik is ‐ egyre közelebb lévén $P$-hez ‐ előbb-utóbb a papíron lesznek.  Bárász Mihály (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)