Kezdőlap


Feladat:	Gy.2921	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Elek Péter
Füzet:	1995/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/május: Gy.2921

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy tetszőleges, $b$ -től különböző $k$ természetes számot. A feltétel szerint

\begin{matrix} b - k ∣ a - k^{n} . \end{matrix}

Ugyanakkor

\begin{matrix} b - k ∣ b^{n} - k^{n}, \end{matrix}

hiszen

n \geq 2

esetén

b^{n} - k^{n} = (b - k) (b^{n - 1} + b^{n - 2} k + ... + k^{n - 1})

,

míg

n = 1

esetén

b^{n} - k^{n} = b - k

.
Így

b - k ∣ a - k^{n} + k^{n} - b^{n} = a - b^{n}

.
Mivel

k

helyére tetszőleges,

b

-től különböző természetes számot írhatunk, az

a - b^{n}

számnak végtelen sok osztója van. Ez azonban egyedül a 0 számra igaz, tehát szükségképpen

\begin{matrix} a - b^{n} = 0, \end{matrix}

s éppen ezt kellett bizonyítanunk.

Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján