|
Feladat: |
Gy.2920 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bárász Mihály , Braun Gábor , Deli Tamás , Elek Péter , Fejes Tóth Péter , Fejős Ibolya , Frenkel Péter , Gyukics Mihály , Hangya Balázs , Kovács Baldvin , Lolbert Tamás , Nyul Gábor , Pap Gyula , Papp Eszter , Perényi Márton , Puskás Péter , Reviczky Ágnes , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Szabó Jácint , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs , Véber Miklós , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1995/január,
20 - 21. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Vektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/május: Gy.2920 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Látható, hogy a számnégyesekben levő számok szorzata lépésenként az előző négyzetére változik, ezért csak akkor kaphatjuk vissza az eredeti négyest, ha a szorzat 1, azaz . (Különben a szorzat minden lépésnél csökken, vagy pedig mindig nő.) A második számnégyesben az első és a harmadik, illetve a második és negyedik szám szorzata egyaránt . Tehát a harmadik szám reciproka az elsőnek, a negyedik pedig a másodiknak. Ez a tulajdonság megőrződik a lépések során, ugyanis egy négyesből az számnégyest kapjuk, ami ugyanilyen tulajdonságú. Tehát a második négyestől kezdve fennáll ez a tulajdonság. Sőt, minthogy az első négyes megegyezik valamelyik későbbivel, így arra is igaz, vagyis Most vizsgáljuk meg, hogyan változik egy lépés során a négy szám összege. Az -ból indulva, képezzük a két összeg különbségét: | | Ismeretes, hogy pozitív számokra (például a számtani‐mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség alapján) és egyenlőség csak mellett áll fönn. Ezért és egyenlőség csak esetén teljesül. A négy szám összege tehát nemcsökkenő, és ha vagy , akkor a másodiktól kezdve minden számnégyesben a számok összege nagyobb, mint az elsőben. Így az első négyest csak , , esetén kaphatjuk vissza, ami éppen a bizonyítandó állítás.
Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|
|