Tegyük föl, hogy a törpök az általunk jól ismert euklideszi síkon élnek pontszerű kunyhókban. Természetesen a törpök falujában az északi irányok párhuzamosak. Ekkor nem indulhatnak el reggel, mert sajnos nem tudnának visszatérni a kunyhójukba.
Tételezzük fel, hogy a törpök egyik reggel elindultak, és a szabályokat betartva estére hazaértek. Ekkor útjuk képe a síkon egy önmagát nem metsző, zárt töröttvonal, vagyis egy sokszög, amelynek minden második oldala párhuzamos egy adott egyenessel (1. ábra). Ezért a sokszög bármelyik nem észak‐déli irányú oldalán lévő két szög összege ${360}^{\circ }$. Ha az utolsó lépés északi irányú volt, akkor az utolsó és az első lépést jelképező szakaszokat egy oldalnak tekinthetjük. Így egy olyan $2n$ oldalú sokszögünk van, amelyben a belső szögek összege $n\cdot {180}^{\circ }$. Ez ellentmond annak az ismert tételnek, hogy egy $n$-szög belső szögeinek összege $\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }$.
Az ellentmondás bizonyítja, hogy a törpök nem indulhatnak el reggel.