Feladat: Gy.2911 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csordás Péter 
Füzet: 1995/január, 16 - 17. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/április: Gy.2911

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át az egyenletet a következő módon:

(x-y)(x2+xy+y2)=xy+61.
Vezessük be az x-y=a és xy=b új változókat. Mivel
x2+xy+y2≥0,
s egyenlőség esetén
0≠xy+61,
ezért*
x2+xy+y2>0*
így xy≥0 alapján a pozitív, b pedig nemnegatív egész.
Másfelől
x2+xy+y2=(x-y)2+3xy=a2+3b,
vagyis
a(a2+3b)=b+61,a3+3ab=b+61,3ab-b=61-a3,b=61-a33a-1.
Itt a≥1 miatt 3a-1>0, így szükségképpen 61≥a3, azaz a=1, 2, 3.
Ha a=1, akkor b=30.
Ha a=2, akkor b=535, nem egész.
Ha a=3, akkor b=348, nem egész.
Visszahelyettesítve az egyedüli lehetséges a=1, b=30-at: x-y=1 és xy=30. Az első egyenlőségből x=y+1, ezt beírva
y(y+1)=30y2+y-30=0(y-5)(y+6)=0.
Mivel y≥0, azért y=5, tehát x=6. Ezekre a megkívánt egyenlőség valóban teljesül, így a megoldás x=6, y=5.
 Csordás Péter (Kecskemét, Zrínyi I. Ált. Isk., 8. o.t.) dolgozata alapján
*Amennyiben a nullát nem tekintjük természetes számnak, x2+xy+y2>0 a feltételtől függetlenül is igaz már. Ez a fajta definíció a megoldásban további ≥ típusú feltételeket >-ra változtat, ám ez a megoldás szempontjából lényegtelen.