Kezdőlap


Feladat:	C.326	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/január, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív sorozatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: C.326

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat tagjainak képzési szabálya szerint $a_{2} = 2 a_{1} - 1$ . Célszerű ezt $a_{2} = 2 (a_{1} - 1) + 1$ formában írni. Mit nyerünk ezzel? Ha $a_{3}$ -at ebből az alakból képezzük, akkor közvetlenül adódik: $a_{3} = 4 (a_{1} - 1) + 1$ . (1-nek a kétszereséből 1-et kivonva megint 1-es keletkezik.) Az is könnyen belátható, hogy minden pozitív egész $k$ -ra $a_{k} = 2^{k - 1} (a_{1} - 1) + 1$ . Ennek a képletnek a birtokában a sorozat akárhányadik tagját felírhatjuk anélkül, hogy az előző tagokat ki kellene számítanunk.
Térjünk rá a feladat kérdésére. Írjuk fel az első $n$ tag összegét:

\begin{matrix} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} . \end{matrix}

Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát 2-vel, és vonjunk ki mindkét oldalból

n

-et (a jobb oldalon

n

darab 1-est).

\begin{matrix} 2 S_{n} - n = (2 a_{1} - 1) + (2 a_{2} - 1) + ... + (2 a_{n - 1} - 1) + (2 a_{n} - 1) . \end{matrix}

A sorozat képzési szabálya alapján

\begin{matrix} 2 S_{n} - n = a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} + a_{n + 1} . \end{matrix}

Vonjunk ki mindkét oldalból

S_{n}

-et:

\begin{matrix} S_{n} - n = a_{n + 1} - a_{1} . \end{matrix}

Felhasználva az

a_{k}

-ra vonatkozó képletünket:

a_{n + 1} = 2^{n} (a_{1} - 1) + 1

, ezért

\begin{matrix} S_{n} = (a_{1} - 1) (2^{n} - 1) + n . \end{matrix}