Kezdőlap


Feladat:	Gy.3039	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Krisztián
Füzet:	1996/október, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: Gy.3039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ számok szerepe szimmetrikus, ezért feltehetjük, hogy teljesül az $a \leq b \leq c$ reláció. Az így nyert megoldásokból aztán a sorrend változtatásával kapjuk majd meg az összes megoldást.
Vizsgáljuk a legkisebb számot. Ha $a = 1$ , akkor

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) = 2 (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) > 2, \end{matrix}

vagyis szükségképpen

a \geq 2

. Ha viszont

a \geq 4

, akkor

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) \leq (1 + \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{4}) = {(\frac{5}{4})}^{3} = \frac{125}{64} < 2, \end{matrix}

ez szintén nem ad megoldást. Tehát csak

a = 2

vagy

a = 3

lehetséges.
Az

a = 2

esetben az egyenlet így írható át:

\begin{matrix} \begin{matrix} (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) & = \frac{4}{3}, \\ 3 (b + 1) (c + 1) & = 4 b c, \\ 3 b + 3 c + 3 & = b c, \\ b = \frac{3 + 3 c}{c - 3} & = \frac{3 (c - 3) + 12}{c - 3} = 3 + \frac{12}{c - 3} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

b

egész és

c \geq 2

, azért

c - 3

lehetséges értékei osztói 12-nek, és nem kisebbek

- 1

-nél:

c - 3 = - 1

, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Az ezekhez tartozó

(b, c)

párok:

\begin{matrix} (- 9, 2), (15, 4), (9, 5), (7, 6), (6, 7), (5, 9), (4, 15) . \end{matrix}

Ezek közül a

2 \leq b \leq c

feltételeknek csak a

(6, 7)

(5, 9)

(4, 15)

tesz eleget, gondolatmenetünkből következik, hogy ezek valóban jók is.
Az

a = 3

esetben számolásunk így alakul:

\begin{matrix} \begin{matrix} (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) & = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \\ 2 (b + 1) (c + 1) & = 3 b c, \\ 2 b + 2 c + 2 & = b c, \\ b = \frac{2 c + 2}{c - 2} & = \frac{2 (c - 2) + 6}{c - 2} = 2 + \frac{6}{c - 2} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

c \geq b \geq 3

és egészek, azért

c - 2

lehetséges értékei: 1, 2, 3, 6; az ezekhez tartozó

(b, c)

párok pedig

\begin{matrix} (8, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 8), \end{matrix}

ezek közül

(4, 5)

és

(3, 8)

tesz eleget a nagyságrendi megkötéseknek is, és ezek valóban megoldások.
Összegezve: az egyenlet megoldásait a

(2, 4, 15)

(2, 5, 9)

(2, 6, 7)

(3, 3, 8)

(3, 4, 5)

és az ezekből permutálással nyert számhármasok jelentik (összesen

6 + 6 + 6 + 3 + 6 = 27

megoldás).

Szabó 555 Krisztián (Békéscsaba, Széchenyi I. Szki., II. o.t.) dolgozata alapján