Kezdőlap


Feladat:	Gy.3098	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró Zsuzsanna , Borbély András , Csiszár Gábor , Devecsery András , Horváth Márk , Izsák Rudolf , Kenyeres Péter , Mecz Balázs , Németh András , Szabadka Zoltán , Szép László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tolvaj Nándor , Végh László
Füzet:	1997/október, 407 - 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: Gy.3098

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög oldalainak harmadolópontjait az 1. ábrán látható módon $A_{B}$ , $A_{C}$ , $B_{A}$ , $B_{C}$ , $C_{A}$ és $C_{B}$ -vel, súlypontját pegid $S$ -sel. Mivel $S$ harmadolja az $A B C$ háromszög súlyvonalait, az $A B_{A} C_{A}$ , $B A_{B} C_{B}$ és $C A_{A} B_{C}$ háromszögeket pedig megkaphatjuk az $A B C$ háromszög megfelelő csúcsából történő $\frac{2}{3}$ arányú kicsinyítéssel, azért a $B_{A} C_{A}$ , $A_{B} C_{B}$ és $A_{C} B_{C}$ szakaszok mindegyikének a felezőpontja $S$ .

1. ábra

2. ábra

Egy

K

középpontú

- \frac{1}{2}

arányú hasonlóság pontosan akkor viszi

A

-t az

A B C

háromszög belső pontjába, ha az

A K

egyenesre

K

-ból az

A

-val ellentétes oldalra

\frac{1}{2} A K

-t felmérve az így kapott

A'_{K}

pont az

A B C

háromszög belső pontja (2. ábra). Ez pontosan akkor teljesül, ha az

A

-ból

\frac{2}{3}

arányban kicsinyített

A'_{K}

pont az

A B C

háromszög kicsinyített képének, azaz

A B_{A} C_{A}

-nak belső pontja. Tehát az

A

-ra vonatkozó feltételnek eleget tevő pontok az

A B_{A} C_{A}

háromszög belső pontjai. Ugyanígy láthatjuk be, hogy a

B

-re vonatkozó feltételnek eleget tevő pontok a

B A_{B} C_{B}

háromszög belső pontjai, míg a

C

-re vonatkozó feltételnek azok a pontok nem tesznek eleget, amelyek a

C A_{C} B_{C}

háromszög belső pontjai és határolópontjai. Tehát a

C

-re vonatkozó feltételnek a

C A_{C} B_{C}

háromszögön kívül eső pontok tesznek eleget.
Mindhárom feltételnek tehát az

A_{B} B_{A} S

háromszög belső pontjai tesznek eleget. Megfelelő oldalaik párhuzamossága miatt az

A_{B} B_{A} S

és az

A B C

háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya

\frac{A_{B} B_{A}}{A B} = \frac{1}{3}

, ezért a területeik aránya

\frac{1}{9}

.
Tehát a keresett

K

pontok az

A B C

háromszög területének

\frac{1}{9}

-ét teszik ki.