|
Feladat: |
Gy.3098 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bíró Zsuzsanna , Borbély András , Csiszár Gábor , Devecsery András , Horváth Márk , Izsák Rudolf , Kenyeres Péter , Mecz Balázs , Németh András , Szabadka Zoltán , Szép László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tolvaj Nándor , Végh László |
Füzet: |
1997/október,
407 - 408. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: Gy.3098 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az háromszög oldalainak harmadolópontjait az 1. ábrán látható módon , , , , és -vel, súlypontját pegid -sel. Mivel harmadolja az háromszög súlyvonalait, az , és háromszögeket pedig megkaphatjuk az háromszög megfelelő csúcsából történő arányú kicsinyítéssel, azért a , és szakaszok mindegyikének a felezőpontja .
Egy középpontú arányú hasonlóság pontosan akkor viszi -t az háromszög belső pontjába, ha az egyenesre -ból az -val ellentétes oldalra -t felmérve az így kapott pont az háromszög belső pontja (2. ábra). Ez pontosan akkor teljesül, ha az -ból arányban kicsinyített pont az háromszög kicsinyített képének, azaz -nak belső pontja. Tehát az -ra vonatkozó feltételnek eleget tevő pontok az háromszög belső pontjai. Ugyanígy láthatjuk be, hogy a -re vonatkozó feltételnek eleget tevő pontok a háromszög belső pontjai, míg a -re vonatkozó feltételnek azok a pontok nem tesznek eleget, amelyek a háromszög belső pontjai és határolópontjai. Tehát a -re vonatkozó feltételnek a háromszögön kívül eső pontok tesznek eleget. Mindhárom feltételnek tehát az háromszög belső pontjai tesznek eleget. Megfelelő oldalaik párhuzamossága miatt az és az háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya , ezért a területeik aránya . Tehát a keresett pontok az háromszög területének -ét teszik ki. |
|