A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az , , pontok -en lévő merőleges vetületét , , -vel. Ha eleget tesz a feltételeknek, és különbözik az , , pontoktól, akkor , vagyis az , és derékszögű háromszögek hasonlóak. Ezért | | Ismert, hogy azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek két rögzített ponttól mért távolságának aránya , egy egyenes, ha (a két rögzített pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese); illetve egy kör, ha (a két rögzített ponthoz és -hez tartozó Apollóniusz-kör).
Tehát ha , és három különböző pont, akkor nyilván egyikükkel sem eshet egybe, -nek , és -től különböző pontjai közül pedig 2, 1 vagy 0 tesz eleget a feltételeknek, attól függően, hogy az és az arányokhoz és az , illetve pontpárokhoz tartozó Apollóniusz-köröknek vagy szakaszfelező merőlegeseknek hány közös pontjuk van. (Ha valamely pontra (1) és (2) teljesül, akkor az ezekből következő is teljesül, tehát rajta van a pontpárhoz tartozó körön van egyenesen is.) Ha , akkor minden pontja jó, ha , és -től való távolságai egyenlők (ekkor a pontok közül legalább kettő egybeesik); míg ha e távolságok közt van legalább két különböző, akkor csak a pont jó. Végül ha , és közül kettő ‐ feltehetjük, hogy és ‐ egybeesik, a harmadik pedig ettől különböző, akkor nincs megfelelő pont, ha és -től való távolsága nem egyenlő; ha pedig ez a két távolság egyenlő, akkor a megfelelő pontok az arányhoz és az pontpárhoz tartozó kört vagy egyenest alkotják. |