Kezdőlap


Feladat:	Gy.3077	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró Zsuzsanna , Csirmaz Előd , Devecsery András , Gerbicz Róbert , Hangya Balázs , Lenk Sándor , Végh Zoltán
Füzet:	1997/október, 406 - 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek hasonlósága, Mértani helyek, Térbeli ponthalmazok, Vetítések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: Gy.3077

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A$ , $B$ , $C$ pontok $S$ -en lévő merőleges vetületét $A'$ , $B'$ , $C'$ -vel. Ha $P$ eleget tesz a feltételeknek, és különbözik az $A'$ , $B'$ , $C'$ pontoktól, akkor $A P A' ∢ = B P B' ∢ = C P C' ∢$ , vagyis az $A P A'$ , $B P B'$ és $C P C'$ derékszögű háromszögek hasonlóak. Ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{A' P}{B' P} & = \frac{A A'}{B B'} & (1) \\ és \frac{A' P}{C' P} & = \frac{A A'}{C C'} . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Ismert, hogy azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek két rögzített ponttól mért távolságának aránya

e

, egy egyenes, ha

e = 1

(a két rögzített pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese); illetve egy kör, ha

e \neq 1

(a két rögzített ponthoz és

e

-hez tartozó Apollóniusz-kör).

Tehát ha

A'

B'

és

C'

három különböző pont, akkor

P

nyilván egyikükkel sem eshet egybe,

S

-nek

A'

B'

és

C'

-től különböző pontjai közül pedig 2, 1 vagy 0 tesz eleget a feltételeknek, attól függően, hogy az

\frac{A A'}{B B'}

és az

\frac{A A'}{C C'}

arányokhoz és az

(A', B')

, illetve

(A', C')

pontpárokhoz tartozó Apollóniusz-köröknek vagy szakaszfelező merőlegeseknek hány közös pontjuk van. (Ha valamely

P

pontra (1) és (2) teljesül, akkor az ezekből következő

\frac{B' P}{C' P} = \frac{B B'}{C C'}

is teljesül, tehát

P

rajta van a

(B, C)

pontpárhoz tartozó körön van egyenesen is.) Ha

A' \equiv B' \equiv C'

, akkor

S

minden pontja jó, ha

A

B

és

C

S

-től való távolságai egyenlők (ekkor a pontok közül legalább kettő egybeesik); míg ha e távolságok közt van legalább két különböző, akkor csak a

P \equiv A' \equiv B' \equiv C'

pont jó. Végül ha

A'

B'

és

C'

közül kettő ‐ feltehetjük, hogy

A'

és

B'

‐ egybeesik, a harmadik pedig ettől különböző, akkor nincs megfelelő pont, ha

A

és

B

S

-től való távolsága nem egyenlő; ha pedig ez a két távolság egyenlő, akkor a megfelelő pontok az

\frac{A A'}{C C'}

arányhoz és az

(A', C')

pontpárhoz tartozó kört vagy egyenest alkotják.