Kezdőlap


Feladat:	139. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gál Jenő
Füzet:	1961/október, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramforrások belső ellenállása, Ellenállások párhuzamos kapcsolása, Kirchhoff-törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 139. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Először kiszámítjuk az egyetlen telep által létrehozott áramot. Legyen $E_{2} = E_{3} = 0$ . Ekkor az 1. ábra szerinti kapcsolás $r_{k}$ ágában folyó $I_{1}$ áramot kell meghatároznunk.

1. ábra

r_{b 2}

r_{b 3}

r_{k}

ellenállások

r_{1}'

eredőjére

1 / r_{1}' = 1 / r_{b 2} + 1 / r_{b 3} + 1 / r_{k}

, így az

r_{1}'

-re eső feszültség

\begin{matrix} U = \frac{r_{1}'}{r_{1}' + r_{b 1}} E_{1}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} I_{1} = \frac{U}{r_{k}} = \frac{r_{1}'}{(r_{1}' + r_{b 1}) r_{k}} E_{1} . \end{matrix}

Osszunk

r_{1}' r_{b 1}

-gyel:

\begin{matrix} I_{1} = \frac{1 / r_{b 1}}{1 / r_{b 1} + 1 / r'} \cdot \frac{E_{1}}{r_{k}} = \frac{1 / r_{b 1}}{1 / r_{b 1} + 1 / r_{b 2} + 1 / r_{b 3} + 1 / r_{k}} \cdot \frac{E_{1}}{r_{k}} . \end{matrix}

A szuperpozíció elve szerint a teljes áram a hasonló módon kiszámított

I_{1}

I_{2}

I_{3}

áramok összege, ahol

I_{2}

E_{1} = E_{3} = 0

I_{3}

E_{1} = E_{2} = 0

esetnek felel meg, tehát

\begin{matrix} I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = \frac{E_{1} / r_{b 1} + E_{2} / r_{b 2} + E_{3} / r_{b 3}}{1 / r_{b 1} + 1 / r_{b 2} + 1 / r_{b 3} + 1 / r_{k}} \cdot 1 / r_{k} . \end{matrix}

Az adott speciális esetben az

I_{1} = I_{2} = I_{3} = \frac{E}{3 r_{k} + r}

I = \frac{3 E}{3 r_{k} + r}

eredmények adódnak.

Gál Jenő (Bp., Eötvös J. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az

E

elektromotoros erejű,

r_{b}

belső ellenállású telep Norton-ekvivalense (lásd: a jelen számban megjelent cikket: ,,Lineáris hálózatokról'') egy

I_{b} = E / r_{b}

forrásáramú

r_{b}

párhuzamos ellenállású áramforrás. Alkalmazva mindhárom párhuzamosan kapcsolt telepre, eredőként egy

I_{b} = E_{1} / r_{b 1} + E_{2} / r_{b 2} +

+ E_{3} / r_{b 3}

forrásáramú

r_{b} = 1 : (1 / r_{b 1} + 1 / r_{b 2} + 1 / r_{b 3})

párhuzamos ellenállású áramforrást kapunk.

2. ábra

Ha az eredőt kapcsoljuk az

r_{k}

ellenállású vezetékre (2. ábra), mivel az áram az ellenállásokkal fordított arányban oszlik meg, ‐ az

r_{k}

ellenálláson

I = \frac{r_{b}}{r_{b} + r_{k}} I_{b}

áram folyik.

r_{b} r_{k}

-val osztva

\begin{matrix} I = \frac{1 / r_{k}}{1 / r_{k} + 1 / r_{b}} I_{b} = \frac{E_{1} / r_{b 1} + E_{2} / r_{b 2} + E_{3} / r_{b 3}}{1 / r_{b 1} + 1 / r_{b 2} + 1 / r_{b 3} + 1 / r_{k}} \cdot 1 / r_{k} . \end{matrix}

Hogy melyik telep mennyivel járul az eredő áramhoz, a többi telep elektromotoros erejének (vagy forrásáramának) 0-vá tételével kapjuk. Az eredmények ugyanazok, mint az I. megoldásban.

III. megoldás: A Kirchhoff-egyenletek gépies felírásával és megoldásával szintén célhoz érhetünk. Ez az eljárás hosszadalmasabb mint az előzők, és nem is olyan tanulságos.