Kezdőlap


Feladat:	5. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1893/december, 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 5. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömbréteg térfogata két gömbszelet térfogatainak külömbsége gyanánt állítható elő.Az első, illetőleg a második gömbszelet alapkörének sugara $r_{2}$ és $r_{1}$ , magasságaik jeleltessenek $h_{2}$ illetőleg $h_{1}$ -gyel. A gömb sugara legyen $r$ .
A keresett térfogat

\begin{matrix} t = t_{2} - t_{1}; \end{matrix}

hol

\begin{matrix} t_{2} = \frac{π h_{2}^{2}}{3} (3 r - h_{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} t_{1} = \frac{π h_{1}^{2}}{3} (3 r - h_{1}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} t = π r (h_{2}^{2} - h_{1}^{2}) - \frac{π}{3} (h_{2}^{3} - h_{1}^{3}) . \end{matrix}

r

h_{2}

és

h_{1}

mennyiségek kiszámítására szolgál a következő egyenletrendszer:

\begin{matrix} h_{2} - h_{1} = h \end{matrix}

\begin{matrix} h_{2} (2 r - h_{2}) = r_{2}^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} h_{1} (2 r - h_{1}) = r_{1}^{2} . \end{matrix}

Az egyszerűsítés, melyet itt bemutatni szándékozunk, a rendes eljárást annyiban könnyíti meg, hogy feleslegessé teszi az (1) alaki egyenletrendszer megoldását az

r, h_{2}

és

h_{1}

szerint s mellőzhetővé lesz továbbá ezen értékek behelyettesítése a

t

képletébe.
Ugyanis

\begin{matrix} t = \frac{π h}{3} {3 r (h_{2} + h_{1}) - (h_{2}^{2} + h_{2} h_{1} + h_{1}^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{π h}{3} {2 r (h_{2} + h_{1}) - (h_{2}^{2} + h_{1}^{2}) + r (h_{2} + h_{1}) - (h_{2} h_{1})} . \end{matrix}

De az (1) két utolsó egyenletéből

\begin{matrix} 2 r (h_{2} + h_{1}) - (h_{2}^{2} + h_{1}^{2}) = r_{2}^{2} + r_{1}^{2} \end{matrix}

(2)

Ha ehhez hozzáadom az (1) első egyenletének négyzetét, lesz

\begin{matrix} 2 r (h_{2} + h_{1}) - 2 h_{2} h_{1} = r_{2}^{2} + r_{1}^{2} + h^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} r (h_{2} + h_{1}) - h_{2} h_{1} = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} + r_{1}^{2} + h^{2}) \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) alatti egyenletekből vett értékek helyettesítése után

\begin{matrix} t = \frac{π h}{3} {r_{2}^{2} + r_{1}^{2} + \frac{1}{2} (r_{2}^{2} + r_{1}^{2} + h^{2})} \end{matrix}

és végre

t = \frac{π h}{6} {h^{2} + 3 r_{1}^{2} + 3 r_{2}^{2})}

, az ismeretes képlet.