Feladat:	4. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1893/december, 3 - 4. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Körülírt kör, Pont körüli forgatás, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 4. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A keresett felület $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\pi \left(BB\text{'}+CC\text{'}\right)BC\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABB\text{'}$ és $CAH$, illetőleg a $CAC\text{'}$ és $ABH$ háromszögek hasonlóságából következik, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle BB\text{'}:AB=AH:CA\mathrm{,}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle CC\text{'}:CA=AH:AB;}\end{array}$ továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle BB\text{'}=\frac{ch}{b}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CC\text{'}=\frac{bh}{c}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\pi ah\frac{b^2+c^2}{bc}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\pi 2S\frac{b^2+c^2}{bc};}\end{array}$ hol $S$ az $ABC$ háromszög területét jelenti. A keresett térfogat $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi B\text{'}C\text{'}\{{\overline{BB\text{'}}}^2+BB\text{'}\cdot CC\text{'}+{\overline{CC\text{'}}}^2\}-\frac{1}{3}\pi {\overline{BB\text{'}}}^2\cdot AB\text{'}-\frac{1}{3}\pi \overline{CC{\text{'}}^2}\cdot AC\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi {\overline{BB\text{'}}}^2\cdot AC\text{'}+\frac{1}{3}\pi BB\text{'}\cdot CC\text{'}\{AB\text{'}+AC\text{'}\}+\frac{1}{3}\pi {\overline{CC\text{'}}}^2\cdot AB\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi BB\text{'}\cdot AC\text{'}\{BB\text{'}+CC\text{'}\}++\frac{1}{3}\pi CC\text{'}\cdot AB\text{'}\{CC\text{'}+BB\text{'}\}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi \{BB\text{'}+CC\text{'}\}\{BB\text{'}\cdot AC\text{'}+CC\text{'}\cdot AB\text{'}\}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABB\text{'}$ és $CAH$, illetőleg a $CAC\text{'}$ és $ABH$ háromszögek hasonlóságából következik még, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle AB\text{'}:AB=CH:CA\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\text{'}:CA=BH:AB;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AB\text{'}=\frac{c}{b}CH;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\text{'}=\frac{b}{c}BH\mathrm{.}}\end{array}$ De a Carnot-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle b^2=c^2+a^2-2aBH}\end{array}$ , $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2=a^2+b^2-2aCH;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle BH=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CH=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a};}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle AB\text{'}=\frac{c}{2ab}\{a^2+b^2-c^2\}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\text{'}=\frac{b}{2ac}\{c^2+a^2-b^2\};}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle BB\text{'}\cdot AC\text{'}+CC\text{'}\cdot AB\text{'}=\frac{h}{2a}\{a^2+b^2-c^2+c^2+a^2-b^2\}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle ah=2S\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi 2S\frac{b^2+c^2}{bc}h=\frac{1}{3}h\cdot f}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi \frac{4S^2}{abc}\left(b^2+c^2\right)}\end{array}$