Kezdőlap


Feladat:	1912. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Auer G. , Back T. , Bereczky E. , Bezzegh A. , Buzágh A. , Csengery Á. , Deutsch E. , Engel S. , Enyedi E. , Eylenburg K. , Friedmann L. , Földy Z. , Goldstein Ö. , Horváth M. , Kertész Gy. , Kis F. S. , Klein P. , Kont Piroska , Kornfeld Klára , Korvin P. , Kun J. , Lénárd S. , Lovas A. , Márkus J. , Molnár J. , Nagy L. J. , Okolicsányi F. , Oszvald F. , Paunz L. , Peisner Gy. , Petróczy Z. , Pirityi J. , Popper Aladár , Radó T. , Rajk M. , Rausch F. , Renkei Lilly , Reviczky Gy. , Schwarz Emmy , Somogyi Ö. , Steiner Gy. , Stojkovits I. , Táborossy K. , Vermes P. , Vizi M. , Weiss J. , Zsolnai O.
Füzet:	1913/január, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1912/november: 1912. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel és legyenek az oldalak rendre $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ , $D A = d$ . Jelöljük továbbá az $A C$ is $B D$ átlók metszéspontját $O$ -val és az $A O B ∢$ -t $φ$ -vel.
$1^{\circ}$ . Ha $A C ⊥ B D$ , akkor

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} = {\bar{A O}}^{2} + {\bar{B O}}^{2}, {\bar{C D}}^{2} = {\bar{C O}}^{2} + {\bar{D O}}^{2}, \\ {\bar{B C}}^{2} = {\bar{B O}}^{2} + {\bar{C O}}^{2}, {\bar{D A}}^{2} = {\bar{D O}}^{2} + {\bar{A O}}^{2}, \end{matrix}

tehát csakugyan

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} = {\bar{A O}}^{2} + {\bar{B O}}^{2} + {\bar{C O}}^{2} + {\bar{D O}}^{2} = {\bar{B C}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha viszont

a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2}

, akkor az

A O B, B O C, ...

háromszögekből a cosinus-tétel szerint

\begin{matrix} a^{2} = {\bar{A O}}^{2} + {\bar{B O}}^{2} - 2 \cdot \bar{A O} \cdot \bar{B O} \cdot cos φ, \\ b^{2} = {\bar{C O}}^{2} + {\bar{D O}}^{2} - 2 \cdot \bar{C O} \cdot \bar{D O} \cdot cos φ, \\ c^{2} = {\bar{B O}}^{2} + {\bar{C O}}^{2} + 2 \cdot \bar{B O} \cdot \bar{C O} \cdot cos φ, \\ d^{2} = {\bar{D O}}^{2} + {\bar{A O}}^{2} + 2 \cdot \bar{D O} \cdot \bar{A O} \cdot cos φ, \end{matrix}

tehát feltételünk szerint

\begin{matrix} - 2 (\bar{A O} \cdot \bar{B O} + \bar{C O} \cdot \bar{D O}) cos φ = 2 (\bar{B O} \cdot \bar{C O} + \bar{D O} \cdot \bar{A O}) \cdot cos φ, \end{matrix}

vagy még

\begin{matrix} (\bar{A O} \cdot \bar{B O} + \bar{C O} \cdot \bar{D O} + \bar{B O} \cdot \bar{C O} + \bar{D O} \cdot \bar{A O}) \cdot cos φ = 0 \end{matrix}

Ámde a zárójelben csupán pozitív számok összege áll, tehát

\begin{matrix} \bar{A O} \cdot \bar{B O} + \bar{C O} \cdot \bar{D O} + \bar{B O} \cdot \bar{C O} + \bar{D O} \cdot \bar{A O} \neq 0 \end{matrix}

és így az egyedül lehetséges eset. Hogy

\begin{matrix} cos φ = 0, vagyisφ=\frac{π}{2}és ígyAC⊥BD. \end{matrix}

(Popper Aladár, Budapest.)