Kezdőlap


Feladat:	1904. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Paunz Arthur
Füzet:	1905/október, 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/november: 1904. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tétel kiterjeszthető a körbe írt páratlan oldalszámú sokszögekre.
Legyenek ugyanis a sokszög egymásra következő csúcsai: $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ..., A_{2 n + 1}$ , akkor feltételünk szerint:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} A_{3} ∢ = A_{2} A_{3} A_{4} ∢ = ... = A_{2 n + 1} A_{1} A_{2} ∢ . \end{matrix}

Egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak, tehát pl.

\begin{matrix} \hat{A_{1} A_{2} A_{3}} = \hat{A_{2} A_{3} A_{4}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \hat{A_{1} A_{2}} + \hat{A_{2} A_{3}} = \hat{A_{2} A_{3}} + \hat{A_{3} A_{4}}, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} \hat{A_{1} A_{1}} = \hat{A_{3} A_{4}} . \end{matrix}

Egyenlő ívekhez azonban egyenlő húrok tartoznak, tehát a sokszög oldalait

a_{1}, a_{2}, ..., a_{2 n + 1}

-gyel jelölve:

\begin{matrix} a_{1} = a_{3}, \end{matrix}

a mi azt mondja, hogy minden második oldal egyenlő, vagyis:

\begin{matrix} a_{1} = a_{3} = a_{5} = ... = a_{2 n + 1} = a_{2} = a_{4} = ... = a_{2 n} . \end{matrix}

Megjegyzés. Páros oldalszám esetében

(2 n)

a tétel úgy módosul, hogy csupán minden második oldal egyenlő egymással:

\begin{matrix} a_{1} = a_{3} = ... = a_{2 n - 1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{2} = a_{4} = ... = a_{2 n} . \end{matrix}

(Paunz Arthur, Pécs.)