Kezdőlap


Feladat:	1902. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömény I. , Erdős V. , Fodor H. , Füstös P. , Földes R. , Haar A. , Heimlich P. , Kürti I. , König Dénes , Paunz A. , Pichler S. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Schwarz Gy. , Schwarz O. , Schöffer I. , Vilcsek A.
Füzet:	1903/június, 234 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/november: 1902. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Hogy a $k, l, m$ számokat mint az $A, B$ és $C$ számok függvényeit fejezhessük ki, írjuk a

\begin{matrix} k \frac{x (x - 1)}{2} + l x + m \end{matrix}

(1)

kifejezést is

\begin{matrix} A x^{2} + B x + C \end{matrix}

(2)

alakban.

(1)

-re rendezve így írható:

\begin{matrix} \frac{k}{2} x^{2} + (l - \frac{k}{2}) x + m, \end{matrix}

hol most már

\begin{matrix} \frac{k}{2} = A, l - \frac{k}{2} = B és m = C \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} k = 2 A, l = B + \frac{k}{2} = (A + B), m = C; \end{matrix}

ezen értékeket

(1)

-be helyettesítve

(2)

-t a következő módon állíthatjuk elő

(1)

alakjában:

\begin{matrix} 2 A \frac{x (x - 1)}{2} + (A + B) x + C . \end{matrix}

b) Ha

(2) x

-nek minden értékénél egész szám, akkor

x = 0,1, - 1

esetében is, azaz az

\begin{matrix} N_{1} = C, N_{2} = A + B + C és N_{3} = A - B + C \end{matrix}

számok mind egészek, valamint tehát az

\begin{matrix} N_{2} - N_{1} = A + B, N_{3} - N_{1} = A - B \end{matrix}

számok is és ezek összege meg különbsége:

2 A

és

2 B

is. Valóban szükséges tehát, hogy

\begin{matrix} k = 2 A, l = A + B és m = C \end{matrix}

egész számok legyenek. Hogy ezen számok egész volta egyszersmind elegendő is ahhoz, hogy

(2)

mindig egész legyen, azt a következő módon bizonyíthatjuk be. Ha

A

és

B

egész szám, világos, hogy

(2)

x

-nek minden egész számú értékénél egész szám, ha

A

és

B

egyike nem egész, akkor a másik sem lehet egész, mert különben

A + B

nem lehetne egész szám, így tehát ez esetben mindkettő egy páratlan szám felével egyenlő, minthogy és

2 A

és

2 B

egész szám,

(2)

alakja ekkor a következő:

\begin{matrix} \frac{2 α + 1}{2} x^{2} + \frac{2 β + 1}{2} x + C = α x^{2} + β x + C + \frac{x^{2} + x}{2}, \end{matrix}

mely szintén mindig egész, mert ha

x

páros,

x^{2}

is az, ha meg páratlan,

x^{2}

is páratlan, összegük

x^{2} + x

tehát mindig páros;

α x^{2} + β x + C

pedig a feltétel szerint mindig egész szám.

(König Dénes, Budapest.)

(A IX. tanulóversenyen az első díjjal jutalmazott dolgozat.)

A feladatot még megoldották: Dömény I., Erdős V., Fodor H., Földes R., Füstös P., Haar A., Heimlich P., Kürti I., Paunz A., Pichler S., Rosenberg J., Ruvald S., Schöffer I., Schwarz Gy., Schwarz O., Vilcsek A.