Kezdőlap


Feladat:	1901. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baranyó A. , Bartók I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Enyedi B. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , König D. , Liebner A. , Ligeti P. , Neidenbach E. , Pivnyik I. , Raab R. , Riesz K. , Riesz Marczell , Schwemmer I. , Szűcs A.
Füzet:	1902/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1901/november: 1901. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A

\begin{matrix} ctg 2 α = \frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α} \end{matrix}

összefüggés alapján

\begin{matrix} ctg \frac{R}{2} = 1 = \frac{u^{2} - 1}{2 u} \end{matrix}

s így

u

gyöke az

\begin{matrix} 1 = \frac{u^{2} - 1}{2 u} \end{matrix}

egyenletnek, mely még így is írható:

\begin{matrix} u^{2} - 2 u - 1 = 0. \end{matrix}

2^{\circ}

. Minthogy

\begin{matrix} sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 sin α \sqrt[]{1 - sin^{2} α} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} sin \frac{R}{2} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} = 2 \cdot \frac{1}{v} \cdot \sqrt[]{1 - \frac{1}{v^{2}}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{4 v^{2} - 4}{v^{4}}; \end{matrix}

tehát

v

gyöke a következő egyenletnek:

\begin{matrix} v^{4} - 8 v^{2} + 8 = 0. \end{matrix}

(Riesz Marczell, Győr.)

A feladatot még megoldották: Baranyó A., Bartók I., Deutsch E., Deutsch I., Enyedi B., Haar A., Hirschfeld Gy., König D., Liebner A., Ligeti P. , Neidenbach E., Pivnyik I., Raab R., Riesz K., Schwemmer I., Szücs A.