Kezdőlap


Feladat:	1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1900/február, 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezés így írható:

\begin{matrix} 2903^{n} - 803^{n} - (464^{n} - 261^{n}) . \end{matrix}

Minthogy két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség külömbsége az alapok külömbségével osztható, azért

\begin{matrix} 2903^{n} - 803^{n} osztható 2903 - 803 = 2100 = 7 \cdot 300 -zal \end{matrix}

és

\begin{matrix} 464^{n} - 261^{n} osztható 464 - 261 = 203 = 7 \cdot 29 -czel, \end{matrix}

miért is kifejezésünk osztható

7

-tel. De kifejezésünket még így is írhatjuk:

\begin{matrix} 2903^{n} - 464^{n} - (803^{n} - 261^{n}); \end{matrix}

\begin{matrix} 2903^{n} - 464^{n} osztható 2903 - 464 = 2439 = 9 \cdot 271 -gyel \end{matrix}

és

\begin{matrix} 803^{n} - 261^{n} osztható 803 - 261 = 542 = 2 \cdot 271 -gyel . \end{matrix}

Kifejezésünk tehát osztható

271

-gyel. Minthogy

7

és

271

relatív prímszámok, azért a megadott kifejezés osztható

7 \cdot 271 = 1897

-tel.

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Bogdán G., Czank K., Filkorn J., Holzmann J.M., Kerekes T., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Sasvári G.