Kezdőlap


Feladat:	1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kőnig Dénes
Füzet:	1900/február, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $x_{1}$ és $x_{2}$ az első egyenletnek két gyöke, azért

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = a + d és x_{1} x_{2} = a d - b c . \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) \end{matrix}

s így az (1) alatti összefüggéseket tekintetbe véve:

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} d + 3 a d^{2} + d^{3} - 3 (a d - b c) (a + d) \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{3} + 3 a^{2} d + 3 a d^{2} + d^{3} - 3 a^{2} d - 3 a d^{2} - 3 a d^{2} + 3 a b c + 3 b c d \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{3} + d^{3} + 3 a b c + 3 b c d . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} = {(a d - b c)}^{3} . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

x_{1}^{3} + x_{2}^{3}

y

-nak együtthatója ellenkező jellel,

x_{1}^{3} x_{2}^{3}

pedig a második egyenlet tiszta tagja s így

x_{1}^{3}

és

x_{2}^{3}

csakugyan gyökei a második egyenletnek.

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Benedek Zs., Burján K., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Grosz K., Hein I., Holzmann J.M., Kende B., Kerekes T., Kertész G., Klein S., Krausz B., Krisztián Gy., Krumpschink K., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Russo M., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Scheuer R., Selényi M., Singer A., Smodits K., Stromfeld F., Szmodics H., Tézner E., Weisz A.