Kezdőlap


Feladat:	1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Stromfeld Ferencz
Füzet:	1900/június, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 1899. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $A_{2} O A_{1} ∢ = 72^{\circ}$ és $D O A_{1} ∢ = 36^{\circ}$ , azért

\begin{matrix} {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} = {(2 sin 36^{\circ} \cdot 2 sin 72^{\circ})}^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = {(4 \sqrt[]{\frac{1 - cos 72^{\circ}}{2}} \cdot \sqrt[]{1 - cos 72^{\circ}})}^{2} = 8 (1 - cos 72^{\circ}) (1 - cos 72^{\circ}) . \end{matrix}

Ha a

D A_{1} O

szögnek

A_{1} E

szögfelezőjét megrajzoljuk, akkor a

D A_{1} E

és

A_{1} E O

egyenlőszárú háromszögeket kapjuk, mert

A_{1} D E ∢ = A_{1} E D ∢ = 72^{\circ}

és

E A_{1} O ∢ = E O A_{1} ∢ = 36^{\circ}

Minthogy pedig

A_{1} D E ▵ \sim A_{1} D O ▵

, azért

\begin{matrix} A_{1} O : A_{1} D = A_{1} D : E D \end{matrix}

minthogy pedig a feladat értelmében a kör sugara

= 1

és

O E = E A_{1} = A_{1} D

, azért

\begin{matrix} 1 : A_{1} D = A_{1} D : 1 - A_{1} D \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {\bar{A_{1} D}}^{2} + A_{1} D = 1, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A_{1} D = \frac{1}{2} (- 1 \pm \sqrt[]{5}), \end{matrix}

mely kifejezésben csakis a felső előjel használható.
Így tehát

\begin{matrix} cos 72^{\circ} = \frac{A_{1} D}{2 \cdot A_{1} O} = \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} = 8 [1 - \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt[]{5})] [1 - \frac{1}{16} (6 - 2 \sqrt[]{5})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 8 \frac{5 - \sqrt[]{5}}{4} \cdot \frac{5 + \sqrt[]{5}}{8} = \frac{20}{4} = 5. \end{matrix}

(Stromfeld Ferencz, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baumann J., Bayer B., Benedek Zs., Burján K., Cukor K., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Goldstein Á., Hein I., Holzmann J., Izsáky L., Kerekes T., Kertész G., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Krumpschink K., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Selényi M., Singer A., Smodics K., Szmodics H., Weisz P., Wohlstein S.