Kezdőlap


Feladat:	1898. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kármán Tivadar
Füzet:	1899/április, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/november: 1898. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két háromszög közös szöge $α$ ; ekkor

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ > sin α + sin β' + sin γ', \end{matrix}

\begin{matrix} sin β + sin γ > sin β' + sin γ', \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 sin \frac{β + γ}{2} cos \frac{β - γ}{2} > 2 sin \frac{β' + γ'}{2} cos \frac{β' - γ'}{2}, \end{matrix}

azonban

\begin{matrix} \frac{β + γ}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2}, \frac{β' + γ'}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2} \end{matrix}

s így egyenlőtlenségünk így is írható:

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} cos \frac{β - γ}{2} > cos \frac{α}{2} cos \frac{β' - γ'}{2} . \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos \frac{β - γ}{2} > cos \frac{β' - γ'}{2} . \end{matrix}

De mivel

\frac{β - γ}{2}

hegyes szög, azért

cos \frac{β - γ}{2}

annál nagyobb, minél kisebb

β - γ

, a két nem közös szög külömbsége.
Tehát meghatározott

α

-nál

sin α + sin β + sin γ

legnagyobb, ha

β - γ

legkisebb, vagyis ha

β - γ = 0

, tehát ha

β = γ

. Ugyanígy bármely megadott

β

-nál

sin α + sin γ

legnagyobb, ha

α = γ

; bármely

γ

-nál

sin α + sin β

legnagyobb, ha

α = β

. Általában

sin α + sin β + sin γ

értéke legnagyobb, ha a háromszög egyenlő oldalú.

Kármán Tivadar jutalmazott dolgozata.)

A feladatot megoldották: Boros J., Breuer M., Freibauer E., Kárf J., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Miliczer L., Obláth R., Pálfy F., Pollák N., Porkoláb J., Rehberger Z., Róth D., Sasvári G., Spitzer Ö., Vida A., Weisz J.