Kezdőlap


Feladat:	1897. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1898/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/november: 1897. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}}, sin \frac{B}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{a c}}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin \frac{C}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{a b}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2} = \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{a b c}; \end{matrix}

számlálót és nevezőt

s

-sel szorozva:

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{a b c \cdot s} = \frac{T^{2}}{a b c \cdot s} . \end{matrix}

\begin{matrix} R = \frac{a b c}{4 T} és r = \frac{T}{s} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{r}{4 R}, \end{matrix}

ahol

r

a háromszögbe,

R

a háromszög köré ír kör sugara; mivel pedig

r < R

, azért

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} < \frac{1}{4} . \end{matrix}

II. Megoldás.

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot cos (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = sin \frac{A}{2} \cdot cos \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot cos \frac{B}{2} - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2}; \end{matrix}

minthogy

sin A

és

sin B

legnagyobb értéke

= 1

, azért

\begin{matrix} \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B < \frac{1}{4}, \end{matrix}

tehát minthogy

sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2}

positív: annál is inkább áll, hogy:

\begin{matrix} \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} < \frac{1}{4} . \end{matrix}

III. Megoldás.

\begin{matrix} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{sin A \cdot sin B \cdot sin C}{8 \cdot cos \frac{A}{2} \cdot cos \frac{B}{2} \cdot cos \frac{C}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{sin A \cdot sin B \cdot sin C}{2 \cdot (sin A + sin B + sin C)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C)} . \end{matrix}

\begin{matrix} sin 2 A < 2 sin A, sin 2 B < 2 sin B, sin 2 C < 2 sin C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C < 2 (sin A + sin B + sin C), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} < 2 \end{matrix}

ezen egyenlőtlenség mindkét oldalá-t

8

-czal osztva:

\begin{matrix} \frac{1}{8} \cdot \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} < \frac{1}{4} . \end{matrix}