Kezdőlap


Feladat:	1896. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1897/február, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1896/november: 1896. évi (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyíttassék be, hogy ha valamely $x, y$ értékpárra vonatkozólag

\begin{matrix} x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + x - y = 0 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + y^{2} - 5 x + 7 y = 0, \end{matrix}

(2)

akkor ugyanarra az értékpárra nézve egyszersmind

\begin{matrix} x y - 12 x + 15 y = 0 . \end{matrix}

(3)

(1) így is írható:

\begin{matrix} (x - y) (x - 2 y + 1) = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{1} = y_{1} \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} x_{2} = 2 y_{2} - 1 \end{matrix}

(5)

x_{1}

értékét (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} x_{1} = y_{1} = 0, \end{matrix}

mely értékek (3)-nak valóban megfelelnek.
(1)-et (2)-ből levonva

\begin{matrix} x y - y^{2} - 6 x + 8 y = 0 \end{matrix}

(6)

(5)-öt (2)-be téve

\begin{matrix} y^{2} = 5 y - 6 \end{matrix}

(7)

(5)-ből

\begin{matrix} 12 y - 6 = 6 x \end{matrix}

(8)

(6)-ot, (7)-et és (8)-at összeadva

\begin{matrix} x y - 12 x + 15 y = 0. \end{matrix}

(Riesz Frigyes, Győr.)