Kezdőlap


Feladat:	1895. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1896/január, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/november: 1895. évi (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adva van $r, a$ és $b : c = λ$ . A trigonometriából ismert képletek alapján:

\begin{matrix} s i n A = \frac{a}{2 r} . \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} \frac{sin B}{sin C} = \frac{b}{c} = λ . \end{matrix}

\begin{matrix} sin B = sin (A + C) = sin A cos C + cos A sin C \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} λ = sin A cot C + cos A \end{matrix}

miből

\begin{matrix} c o t C = \frac{λ - cos A}{sin A} = \frac{λ - \sqrt[]{1 - \frac{a^{2}}{4 r^{2}}}}{\frac{a}{2 r}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{2 r}{a} λ = \sqrt[]{\frac{4 r^{2}}{a^{2}} - 1} = \frac{2 r λ - \sqrt[]{4 r^{2} - a^{2}}}{a} \end{matrix}

(2)

Továbbá ismeretes, hogy

\begin{matrix} c = 2 r sin C = 2 r \frac{1}{\sqrt[]{1 + cot^{2} C}} = \frac{2 r a}{\sqrt[]{a^{2} + 4 r^{2} λ^{2} + 4 r^{2} - a^{2} - 4 r λ \sqrt[]{4 r^{2} - a^{2}}}} \end{matrix}

\begin{matrix} c = \frac{2 a r}{\sqrt[]{4 r^{2} (λ^{2} + 1) - 4 r λ \sqrt[]{4 r^{2} - a^{2}}}} \end{matrix}

(3)

végre

\begin{matrix} b = λ c = \frac{2 λ a r}{\sqrt[]{4 r^{2} (λ^{2} + 1) - 4 r λ \sqrt[]{4 r^{2} - a^{2}}}} \end{matrix}

(4)

Második megoldás.

(Szerkesztés útján).

a

oldal végpontjain keresztül kört fektetünk, melynek sugara

r

. Tudjuk továbbá, hogy azon

A

pontok mértani helye, melyeknek két ‐

C

és

B

‐ ponttól való távolságának aránya

b : c = λ

szintén kör. Ezen utóbbi kör középpontja

E

B C

-n fekszik és a következő feltételből határozható meg:

\begin{matrix} D E = E D' \end{matrix}

hol másrészt

D

és

D'

a következő feltételekből határozhatók meg

\begin{matrix} D C : D B = - λ, C D' : D' B = λ, \end{matrix}