Kezdőlap


Feladat:	1895. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1896/január, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/november: 1895. évi (később Kürschák) matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lehetséges elosztások a következőképpen csoportosíthatók:
Az egyik személy kap $1$ kártyát, a második $(n - 1)$ -et. Ez $n$ -féleképpen lehetséges.
Az első kap $2$ kártyát, a második $(n - 2)$ -őt. Ez $\frac{n (n - 1)}{1,2}$ -féleképpen lehetséges.
Általában az első kap $k$ kártyát, a második $(n - k)$ -t, ami $(\binom{n}{k})$ -féleképpen lehetséges.
A lehetséges elosztások számát tehát a következő összeg képviseli.

\begin{matrix} (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3}) + ... (\binom{n}{k}) + ... (\binom{n}{n - 2}) + (\binom{n}{n - 1}) \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} 2^{n} = {(1 + 1)}^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + ... + (\binom{n}{k}) + ... + (\binom{n}{n - 2}) + (\binom{n}{n - 1}) + 1 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 2^{n} - 2 = 2 (2^{n - 1} - 1) = (\binom{n}{1}) + ... + (\binom{n}{k}) + ... + (\binom{n}{n - 1}) . \end{matrix}