Kezdőlap


Feladat:	2276. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Klatsmányi Péter
Füzet:	1989/február, 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyújtás, összenyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: 2276. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk fel a rugót képzeletben $n$ részre $(n ≫ 1)$ ! Mivel az egész rugó rugóállandója $k$ , egy adott $F$ erő hatására a megnyúlása $F / k$ . Az egyes kis rugók megnyúlása $F / (k \cdot n)$ , ezek tehát úgy viselkednek, mint a $k \cdot n$ rugóállandójú rugók.
Függőlegesen felfüggesztve a rugót, a felosztás fölülről számított $i$ -edik tagjára $F_{i} = (1 - \frac{i}{n}) m g$ erő hat. (A saját súlyát $n ≫ 1$ miatt elhanyagolhatjuk.) Az $i$ -edik rugó megnyúlása tehát

\begin{matrix} Δ l_{i} = \frac{F_{i}}{n k}, \end{matrix}

a teljes megnyúlás pedig

\begin{matrix} Δ l = \sum_{i = 1}^{n} Δ l_{i} = \frac{m g}{k} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{n} - \frac{i}{n^{2}}) . \end{matrix}

A zárójelben álló első tagok összege nyilván 1, a második tagoké pedig

\begin{matrix} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n^{2}} = - \frac{n (n + 1)}{2 \cdot n^{2}} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 n} . \end{matrix}

A felosztás finomításával egyre indokoltabb az egyes rugók súlyának elhanyagolása a többié mellett, s így végül

n \to \infty

határesetben a rugó megnyúlása

\begin{matrix} Δ l = \frac{m g}{2 k} . \end{matrix}

Klatsmányi Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)