Kezdőlap


Feladat:	2341. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kóczán György
Füzet:	1989/április, 189 - 190. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabadesés, Rugalmatlan ütközések, A Hold jellemző adatai, Mechanikai mérés, Közegellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: 2341. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a $k$ ütközési szám az ütköző testek ütközés előtti, illetve utáni impulzusainak hányadosa tömegközépponti rendszerből nézve. Mivel a Hold sokkal nagyobb tömegű, mint a labda, ezért a tömegközépponti rendszert állónak vesszük a Holdhoz képest. Így a $v$ sebességgel a felszínnek ütődő labda $v' = k v$ sebességgel pattan vissza.
A labda két lepattanás között egyenes vonalú egyenletesen ( $g$ gyorsulással) változó mozgást végez, így ha $v_{1}$ sebességgel indul fölfelé, akkor $t_{1} = 2 v_{1} / g$ idő múlva ér újra a talajra. A fentiek szerint ezután $v_{2} = k v_{1}$ sebességgel indul felfelé, így a következő lepattanásig $t_{2} = 2 v_{2} / g = k t_{1}$ idő telik el. Hasonlóan a harmadik földetérés $t_{2} = k t_{2} = k^{2} t_{1}$ idő múlva lesz a második után, stb.
A két lepattanás közt eltelt idők tehát csökkenő mértani sorozatot alkotnak, így bár végtelen sokszor lepattan a labda, a pattogás összideje véges lesz. A mértani sorok összegképlete alapján a pattogás ideje az első lepattanástól számítva:

\begin{matrix} T_{1} = t_{1} \frac{1}{1 - k} . \end{matrix}

(1)

H

magasságból

t_{0} = \sqrt[]{2 H / g}

idő alatt esik le az elejtett test. Ez az esés egy fél pattanásnak felel meg, így

t_{1} = 2 t_{0} \cdot k

. Az elejtéstől számítva tehát

\begin{matrix} T = t_{0} + \frac{t_{1}}{1 - k} = \sqrt[]{\frac{2 H}{g}} \frac{1 + k}{1 - k} \end{matrix}

(2)

idő múlva áll meg a labda. A feladat értékeivel és

g = 1, 66 {m/s}^{2}

-tel számolva

T = 14 s

. Fejezzük ki

k

-t a közvetlenül mérhető adatokkal:

\begin{matrix} k = \frac{T - t^{*}}{T + t^{*}}, \end{matrix}

ahol

t^{*}

pontosan megadható

H

és

g

ismeretében a (2) összefüggés alapján.

k

mérésének relatív hibáját

T

mérési hibája okozza:

\begin{matrix} δ k = \frac{Δ T}{T - t^{*}} + \frac{Δ T}{T + t^{*}} = \frac{Δ T}{T} (\frac{1}{1 - t^{*} / T} + \frac{1}{1 + t^{*} / T}) = δ T \frac{{(1 + k)}^{2}}{2 k} . \end{matrix}

Látható, hogy

k

kis értékeinél

T

-t ‐ bár egyre csökken ‐ egyre nagyobb relatív pontossággal kell mérnünk.
A Holdon eltekinthettünk a közegellenállástól, ezt a Földön nem tehetjük meg. Bolygónkon tehát vagy légritkított térben, vagy kis keresztmetszetű, nagy sűrűségű labdával kell mérnünk, és törekedni kell arra, hogy a fellépő sebességek kicsik legyenek. Az utóbbit úgy biztosíthatjuk, hogy

H

-t kicsire választjuk, ekkor viszont

T

csökken, így pontatlanabbul mérhető. Ez, mint láttuk, különösen kis

k

esetén okoz problémát.

Kóczán György (Pécs, Nagy L. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Feltettük, hogy a labda akármilyen piciket tud pattanni, így összegeztük a végtelen mértani sort. Ez a valóságban nincs így, hisz az ütközéskor a labda behorpad, majd a nem teljesen rugalmas alakváltozás löki vissza. Egy bizonyos határ alatta labda már nem is emelkedik fel újra, csak rezeg még egy ideig. Ha ez az

n

-edig pattanáskor következik be, akkor a véges mértani sorok összegképlete szerint a fenti

T_{1}

érték

T'_{1} = t_{1} (1 - k^{n}) / (1 - k)

lesz.

n

adatok hiányában csak becsülhető. Az

i

-edik lepattanás után

H k^{2 i}

magasra emelkedik a labda. Ha ez az érték annak a behorpadásnak a nagyságrendjébe esik, amit a labda saját súlya okoz, akkor már nem ugrik fel a labda.
2.

T

mérésénél technikai jellegű probléma annak megállapítása, hogy mikor áll le a pattogás.
A Földön hanghatás alapján megállapítható a megállás pillanata; ez jól megfigyelhető pl. egy pingponglabdánál. A Holdon nincs légkör, így hang se, de a következő két módszer itt is használható: Valamilyen rezgésérzékelővel (pl. piezoelektromos kristállyal) érzékeljük a lap rezgéseit, az így kapott jeleket akár számítógéppel is feldolgozhatjuk. Súroló fényben a labda árnyéka 10‐20-szor nagyobbakat ugrál, mint a labda, így ezzel is pontosan mérhetünk.