Kezdőlap


Feladat:	2261. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borkovits Tamás , Csáki Csaba , Csordás Zoltán Mihály , Csűrös Miklós , Domokos Péter , Hauer Tamás , Szabó Attila
Füzet:	1988/november, 422 - 423. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szolenoid mágneses tere, Mágneses mező energiája, energiasűrűsége, Nyugalmi indukció, Lenz-törvény, Szupravezetés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: 2261. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szolenoid hosszát $l$ -lel (így nem téveszthetjük össze az önindukciós együtthatójával), a keresztmetszetét pedig $A$ -val.
A tekercs mágneses energiája kezdetben

\begin{matrix} E_{1} = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 l}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} L = μ \frac{N^{2} A}{l} \end{matrix}

az önindukciós együttható.
Ha a tekercs hosszát

l

-ről

l + Δ l

-re növeljük, a mágneses energia

\begin{matrix} E_{2} = \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 (l + Δ l)} \end{matrix}

lesz, a mágneses energia változása tehát

\begin{matrix} Δ E = E_{2} - E_{1} = \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2} (\frac{1}{l + Δ l} - \frac{1}{l}) = - \frac{μ N^{2} A I^{2} Δ l}{2 l (l + Δ l)} < 0. \end{matrix}

Mondhatjuk-e, hogy a tekercs megnyújtása során általunk végzett

W

munka a tekercs energiaváltozásával egyenlő? Nem, hiszen a párhuzamos vezetők közt azonos áramirány esetén ható vonzóerő miatt

W

nyilván pozitív. Az ellentmondás feloldásához azt kell észrevennünk, hogy a tekercs energetikailag nem zárt rendszer, hiszen az állandó

I

áramot biztosító vezetéken keresztül kapcsolatban áll az áramforrással.
Ha a tekercset

Δ t

idő alatt nyújtottuk meg

Δ l

hosszal, akkor a

\begin{matrix} Δ Φ = N \cdot A \cdot Δ B = μ N^{2} A I (\frac{1}{l + Δ l} - \frac{1}{l}) \end{matrix}

fluxusváltozás hatására

\begin{matrix} U = - \frac{Δ Φ}{Δ t} = + \frac{μ N^{2} A I Δ l}{l (l + Δ l) Δ t} \end{matrix}

feszültség indukálódik. Ez a feszültség Lenz törvénye értelmében ellensúlyozni igyekszik a csökkenő fluxust, vagyis az áramot növelni szeretné. Mivel

Δ t

idő alatt

Q = I Δ t

töltés halad át a tekercsen, ezek energiáját az indukált feszültség

\begin{matrix} Δ E' = Q U = \frac{μ N^{2} A I^{2} Δ l}{l (l + Δ l)} = 2 | Δ E | \end{matrix}

értékkel megnöveli. Az energia megmaradásának törvényéből tehát a munkavégzésre a

\begin{matrix} W = Δ E + Δ E' = | Δ E | = + \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 l (l + Δ l)} Δ l \end{matrix}

kifejezés adódik. Ez kicsiny

Δ l

esetén

\begin{matrix} F = \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 l^{2}} \end{matrix}

erőnek felel meg ‐ ekkora erővel húzza össze a szolenoidot a mágneses erőtér.

Domokos Péter (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján.

Megjegyzés. Ha csak a tekercset összehúzó erőre vagyunk kíváncsiak, azt más ‐ talán egyszerűbb ‐ gondolatmenettel is meghatározhatjuk. Képzeljük el, hogy a tekercs szupravezető anyagból készült, s emiatt külső áramforrás nélkül is hosszú ideig keringhet benne elektromos áram. Ez annyit jelent, hogy a tekercs önmagában is zárt rendszernek tekinthető.
A tekercsben a mágneses fluxus

\begin{matrix} Φ = N A B = \frac{μ N^{2} A I}{l} \end{matrix}

l

hossz megnövelése során nem változhat, hiszen a fluxusváltozás feszültséget indukálna, az pedig az elhanyagolhatóan kicsi ellenállás miatt korlátlanul nagy áramot keltene.

Φ

állandósága csak úgy valósulhat meg, ha a tekercs széthúzása közben

I

a tekercs hosszával arányosan megnő:

I (l) = I_{0} l / l_{0}

. A tekercs energiája

\begin{matrix} E = \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 l} = \frac{μ N^{2} A I_{0}^{2}}{2 l_{0}^{2}} \cdot l, \end{matrix}

ez pedig

l

növekedtével növekszik;

\begin{matrix} Δ E = + \frac{μ N^{2} A I^{2}}{2 l_{0}^{2}} Δ l, \end{matrix}

vagyis a tekercset összehúzó erő

F = Δ E / Δ l > 0

. Mivel az erő nyilvánvalóan csak a tekercsben folyó áramerősségtől függ, nem pedig a tekercs anyagának ellenállásától, ugyanez az eredmény érvényes hagyományos anyagú (nem szupravezető) tekercsre is.

Hauer Tamás (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)