Feladat:	3088. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boja Bence ,  G. P. ,  Kardos Gábor ,  Kormos Márton ,  Sarlós Ferenc ,  Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/december, 567. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Analógia alkalmazása, Közegellenállás, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: 3088. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük az eredeti helikopter súlyát $G$-vel, a rotorja által súrolt területet $A$-val, a rotor sugarát, szögsebességét és átlagos sebességét pedig $r$-rel, $\omega$-val és $v$-vel. A másik, kicsinyített helikopternél ugyanezen mennyiségek legyenek $G\text{'}$, $A\text{'}$, $r\text{'}$, $\omega \text{'}$ és $v\text{'}$. Amennyiben $r\text{'}=r/\mathrm{2,}$ úgy $A\text{'}=A/4$ és $G\text{'}=G/8$. (Feltételezzük, hogy a kicsinyített modell ugyanolyan anyagból készült, mint az eredeti, emiatt az átlagos sűrűségük megegyezik.) Mindkét ,,lebegő'' helikopternél fennáll az, hogy a forgásban levő rotor által létrehozott emelőerő egyenlő a helikopter súlyával. Vajon miből származik az emelőerő és hogyan fejezhető ki a helikopter adataival? A rotorok felgyorsítják (mintegy maguk alá lökik) a felettük levő, kezdetben álló levegőt, tehát függőlegesen lefelé irányuló lendületet adnak neki. A felgyorsított levegő sebessége feltehetően arányos $v$-vel. (Az arányossági tényező nyilván függ a rotor lapátjának alakjától, de mindkét helikopterre ugyanakkora.) Bizonyos $\Delta t$ idő alatt $A$ keresztmetszeten $Av\Delta t$-vel arányos térfogatú levegő áramlik lefelé. Ennek a levegőmennyiségnek az impulzusa $A{v}^2\Delta t$-vel arányos, a levegő felgyorsításához szükséges függőleges erő (időegységre vonatkoztatott impulzusváltozás) tehát $A{v}^2$-tel arányos. A hatás-ellenhatás törvénye szerint ugyanekkora nagyságú erőt fejt ki a levegő is a helikopterre. Az emelőerő és a súly egyenlőségéből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{G\text{'}}{G}=\frac{A\text{'}v{\text{'}}^2}{A{v}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a korábban felírt összefüggéseket is felhasználva $v\text{'}=v/\sqrt[]{2}\mathrm{,}$ valamint $\omega \text{'}=\sqrt[]{2}\omega$ adódik. A kicsinyített modell rotorjának tehát kisebb kerületi sebességgel, de nagyobb szögsebességgel kell forognia, mint az eredetinek. A helikopter motorja által leadott mechanikai teljesítmény a szügséges $M$ forgatónyomaték és a rotor szögsebességének szorzataként számítható ki: $P=M\omega \mathrm{.}$ A forgatónyomaték a rotorra ható közegellenállási erővel (tehát $A{v}^2$-tel) és a rotor $r$ sugarával arányos. ($A$ jelölheti a rotorlapátok egyes részeinek mozgásirányú keresztmetszetét, de a rotor átlal súrolt területet is, hiszen arányos kicsinyítésnél ezek ugyanolyan mértékben csökkennek.) Így a kérdéses teljesítményarány: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{P\text{'}}{P}=\frac{A\text{'}v{\text{'}}^{2}r\text{'}\omega \text{'}}{A{v}^{2}r\omega }=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt[]{2}=\frac{1}{2^{\mathrm{3,5}}}=\mathrm{0,088.}}\end{array}$ A kicsinyített modell motorjának teljesítménye tehát az eredetiének mindössze 9 százaléka kell legyen.  Boja Bence (Budapest, Árpád Gimn., 12. évf.),  Kardos Gábor (Heves, Eötvös J. Gimn., 12. évf.) és  Sarlós Ferenc (Baja, III. Béla Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján   II. megoldás. Próbáljuk megtalálni azokat a paramétereket, melyektől egy adott helikopter lebegéséhez szükséges $P$ teljesítmény függ. Nyilvánvaló, hogy ezek között szerepelnie kell a $g$ gravitációs állandónak, a helikopter jellemző $L$ hosszméretének. (A helikopter tömege, a rotorlapátok hossza és hasznos felülete már kifejezhető ezekkel az adatokkal.) A teljesítmény természetesen függ még a helikopter (átlagos) ${\varrho }_h$ sűrűségétől, valamint a környező közeg (jelen esetben a levegő) ${\varrho }_l$ sűrűségétől is. Ésszerű feltételezni, hogy a szükséges teljesítmény (legalábbis közelítőleg) csak a felsorolt paraméterektől függ és $\begin{array}{c}{\displaystyle P=c\cdot g^{\alpha }\cdot L^{\beta }\cdot {\varrho }_h^{\gamma }\cdot {\varrho }_l^{\delta }}\end{array}$ alakú összefüggésből számítható ki (ahol $c$ egy dimenziótlan állandó). A két oldal mértékegységeinek meg kell egyeznie: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{kg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}={\left(\frac{\text{m}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}}\right)}^{\alpha }\cdot {\text{m}}^{\beta }\cdot {\left(\frac{\text{kg}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}\right)}^{\gamma }\cdot {\left(\frac{\text{kg}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}\right)}^{\delta }\mathrm{.}}\end{array}$ A kitevők alapegységenként egyenlők: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \gamma +\delta }& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle \alpha +\beta -3\left(\gamma +\delta \right)}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle -2\alpha }& {\displaystyle =-3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: $\beta =\frac{7}{2}$, továbbá $\alpha =\frac{1}{2}$ és $\gamma =1-\delta$. Azt kaptuk tehát, hogy a helikopter lebegéséhez szükséges teljesítmény a lineáris méret $\frac{7}{2}$-ik hatványával arányos, a felére kicsinyített helikopter tehát $2^{-3\mathrm{,}5}=0\mathrm{,}088$-szoros teljesítménnyel képes fenntartani magát.  Kormos Márton (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 12. évf.)   Megjegyzések. 1. A motorok hatásfokának egyik fontos jellemzője a motor által leadott teljesítmény és a motor tömegének aránya. Amennyiben a helikopter motorját is a többi lineáris mérettel arányos mértékben kicsinyítjük, a motor tömege nyolcadára, a szükséges teljesítmény viszont ennél nagyobb mértékben csökken. Eszerint a kisebb repülő szerkezet lebegéséhez rosszabb hatásfokú motor is elegendő. Fordítva: minél nagyobb méretű (levegőnél nagyobb sűrűségű) testet akarunk helikopter-elven lebegtetni, annál jobb hatásfokú motorra van szükségünk. Hasonló okok magyarázhatják azt a tényt, hogy az evolúció során pl. a legyek nem nőttek emberméretűre, hiszen méretarányosan felnagyítva őket képtelenek volnának repülni. Ugyancsak szembetűnő a legnagyobb repülő állatok és a legnagyobb szárazföldi gerincesek (pl. a sas és az elefánt) közötti nagyon nagy térfogat-, illetve tömegkülönbség.  Zawadowski Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. évf.)   2. A II. megoldásban leírt dimenzióanalízis módszerével a $\gamma$ és $\delta$ kitevőknek csak az összegét tudtuk megadni. Ha azonban azt is figyelembe vesszük, hogy a helikopter sűrűsége csak $g$-vel szorozva jelenhet meg a teljesítmény képletében (hiszen a mozdulatlan helikopternek nem a tehetetlen tömege, hanem csak a súlya kaphat csak szerepet), úgy a $\gamma =\alpha$ megszorítást kapjuk, ahonnan $\gamma =\frac{3}{2}$ és $\delta =-\frac{1}{2}$ adódik. Ezek szerint a teljesítmény formulája: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\propto \left(L^3{\varrho }_{h}g\right)\cdot \sqrt[]{Lg}\cdot \sqrt[]{\frac{{\varrho }_h}{{\varrho }_l}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben a képletben az első (zárójeles) tényező a helikopter súlyával arányos, a második egy helikopternyi magasságból szabadon eső test végsebessége, a harmadik tényező pedig dimenziótlan (kb 100-as nagyságrendű) számfaktor, amely csak a sűrűségarányoktól függ. Földi körülmények között csak $L$-t és ${\varrho }_h$-t lehet változtatni, az űrkutatásban (parányi automata repülő felderítő eszközök tervezésénél) azonban fontos lehet annak ismerete is, hogy miként függ $P$ a nehézségi gyorsulástól, illetve a környező közeg sűrűségétől.  (G. P.)