A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az eredeti helikopter súlyát -vel, a rotorja által súrolt területet -val, a rotor sugarát, szögsebességét és átlagos sebességét pedig -rel, -val és -vel. A másik, kicsinyített helikopternél ugyanezen mennyiségek legyenek , , , és . Amennyiben úgy és . (Feltételezzük, hogy a kicsinyített modell ugyanolyan anyagból készült, mint az eredeti, emiatt az átlagos sűrűségük megegyezik.) Mindkét ,,lebegő'' helikopternél fennáll az, hogy a forgásban levő rotor által létrehozott emelőerő egyenlő a helikopter súlyával. Vajon miből származik az emelőerő és hogyan fejezhető ki a helikopter adataival? A rotorok felgyorsítják (mintegy maguk alá lökik) a felettük levő, kezdetben álló levegőt, tehát függőlegesen lefelé irányuló lendületet adnak neki. A felgyorsított levegő sebessége feltehetően arányos -vel. (Az arányossági tényező nyilván függ a rotor lapátjának alakjától, de mindkét helikopterre ugyanakkora.) Bizonyos idő alatt keresztmetszeten -vel arányos térfogatú levegő áramlik lefelé. Ennek a levegőmennyiségnek az impulzusa -vel arányos, a levegő felgyorsításához szükséges függőleges erő (időegységre vonatkoztatott impulzusváltozás) tehát -tel arányos. A hatás-ellenhatás törvénye szerint ugyanekkora nagyságú erőt fejt ki a levegő is a helikopterre. Az emelőerő és a súly egyenlőségéből ahonnan a korábban felírt összefüggéseket is felhasználva valamint adódik. A kicsinyített modell rotorjának tehát kisebb kerületi sebességgel, de nagyobb szögsebességgel kell forognia, mint az eredetinek. A helikopter motorja által leadott mechanikai teljesítmény a szügséges forgatónyomaték és a rotor szögsebességének szorzataként számítható ki: A forgatónyomaték a rotorra ható közegellenállási erővel (tehát -tel) és a rotor sugarával arányos. ( jelölheti a rotorlapátok egyes részeinek mozgásirányú keresztmetszetét, de a rotor átlal súrolt területet is, hiszen arányos kicsinyítésnél ezek ugyanolyan mértékben csökkennek.) Így a kérdéses teljesítményarány: | | A kicsinyített modell motorjának teljesítménye tehát az eredetiének mindössze 9 százaléka kell legyen.
Boja Bence (Budapest, Árpád Gimn., 12. évf.), | Kardos Gábor (Heves, Eötvös J. Gimn., 12. évf.) és | Sarlós Ferenc (Baja, III. Béla Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján |
II. megoldás. Próbáljuk megtalálni azokat a paramétereket, melyektől egy adott helikopter lebegéséhez szükséges teljesítmény függ. Nyilvánvaló, hogy ezek között szerepelnie kell a gravitációs állandónak, a helikopter jellemző hosszméretének. (A helikopter tömege, a rotorlapátok hossza és hasznos felülete már kifejezhető ezekkel az adatokkal.) A teljesítmény természetesen függ még a helikopter (átlagos) sűrűségétől, valamint a környező közeg (jelen esetben a levegő) sűrűségétől is. Ésszerű feltételezni, hogy a szükséges teljesítmény (legalábbis közelítőleg) csak a felsorolt paraméterektől függ és alakú összefüggésből számítható ki (ahol egy dimenziótlan állandó). A két oldal mértékegységeinek meg kell egyeznie: | | A kitevők alapegységenként egyenlők: | γ+δ=1, α+β-3(γ+δ)=2, -2α=-3. | Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: β=72, továbbá α=12 és γ=1-δ. Azt kaptuk tehát, hogy a helikopter lebegéséhez szükséges teljesítmény a lineáris méret 72-ik hatványával arányos, a felére kicsinyített helikopter tehát 2-3,5=0,088-szoros teljesítménnyel képes fenntartani magát.
Kormos Márton (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 12. évf.) | Megjegyzések. 1. A motorok hatásfokának egyik fontos jellemzője a motor által leadott teljesítmény és a motor tömegének aránya. Amennyiben a helikopter motorját is a többi lineáris mérettel arányos mértékben kicsinyítjük, a motor tömege nyolcadára, a szükséges teljesítmény viszont ennél nagyobb mértékben csökken. Eszerint a kisebb repülő szerkezet lebegéséhez rosszabb hatásfokú motor is elegendő. Fordítva: minél nagyobb méretű (levegőnél nagyobb sűrűségű) testet akarunk helikopter-elven lebegtetni, annál jobb hatásfokú motorra van szükségünk. Hasonló okok magyarázhatják azt a tényt, hogy az evolúció során pl. a legyek nem nőttek emberméretűre, hiszen méretarányosan felnagyítva őket képtelenek volnának repülni. Ugyancsak szembetűnő a legnagyobb repülő állatok és a legnagyobb szárazföldi gerincesek (pl. a sas és az elefánt) közötti nagyon nagy térfogat-, illetve tömegkülönbség.
Zawadowski Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. évf.) | 2. A II. megoldásban leírt dimenzióanalízis módszerével a γ és δ kitevőknek csak az összegét tudtuk megadni. Ha azonban azt is figyelembe vesszük, hogy a helikopter sűrűsége csak g-vel szorozva jelenhet meg a teljesítmény képletében (hiszen a mozdulatlan helikopternek nem a tehetetlen tömege, hanem csak a súlya kaphat csak szerepet), úgy a γ=α megszorítást kapjuk, ahonnan γ=32 és δ=-12 adódik. Ezek szerint a teljesítmény formulája: Ebben a képletben az első (zárójeles) tényező a helikopter súlyával arányos, a második egy helikopternyi magasságból szabadon eső test végsebessége, a harmadik tényező pedig dimenziótlan (kb 100-as nagyságrendű) számfaktor, amely csak a sűrűségarányoktól függ. Földi körülmények között csak L-t és ϱh-t lehet változtatni, az űrkutatásban (parányi automata repülő felderítő eszközök tervezésénél) azonban fontos lehet annak ismerete is, hogy miként függ P a nehézségi gyorsulástól, illetve a környező közeg sűrűségétől.
|
|